最大子段和之环形问题

环形最大子段和

题目模型

• 把模型一的线性变成环形。有一个修改，不允许区间为空。

问题分析

方法一：

• 环形数组的连续最大子段和，有两种情况。

  1. 最大和的这个子段没有包含头尾。此时跟线型一样。
     • 定义dp[i]表示以a[i]结尾的最大子段和。
     • 转移方程：dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])。
  2. 最大和的这个子段包含了头尾。
     • 此时：最大子段和 = 整个序列和 - 最小子段和。
     • 此时最小子段和肯定是不包括头尾的，我们可以把原序列的每个元素乘以-1，然后求出最大子段和，即为原序列的不包括头、尾的最小子段和。

• 然后比较两种情况的大小，输出大的那一个就行。

• Code

  #include <bits/stdc++.h>
  const int maxn = 1e7+5,Inf=0x3f3f3f3f;
  typedef long long LL;
  LL a[maxn],b[maxn],dp[maxn];
  LL sum = 0,Max = 0,Min = 0;
  void Solve(){
      int n;scanf("%d",&n);
      srand(time(0));//随机种子
      for(int i=1;i<=n;++i){
          a[i]=rand()%10000-5000;//产生-5000~5000的随机数
          b[i]=-a[i];//原序列元素乘-1
          sum+=a[i];//序列之和
      }    
      for(int i=1;i<=n;++i){//对应情况1
          dp[i]=std::max(dp[i-1]+a[i],a[i]);
          Max=std::max(Max,dp[i]);
      }
      memset(dp,0,sizeof(dp));    
      for(int i=1;i<=n;++i){//对应情况2，求b的最大子段和，取反后为a的的最小子段和
          dp[i]=std::max(dp[i-1]+b[i],b[i]);
          Min=std::max(Min,dp[i]);
      }
      LL ans=std::max(Max,sum+Min);//sum+Min相当于序列和减去最小区间和
      printf("%lld\n",ans);
  } 
  int main(){
      Solve();
      return 0;
  }
  

方法二：

• 可以用单调队列，具体做法见下一个模型。