图论题解

图论

A. 铲雪车

• 此题要求从起点开始遍历每条边，然后回到起点，虽然没说不能重复经过某条边，但要求花的时间最少，也就间接隐含能不重复走边就不重复。
• 但题目都给出了道路是双车道,那明显就是一个欧拉图，题目没要求求路径，所以我们只要求出所有边之和乘上2即可。
• 注意：
  • 要求的是精确到分钟，所以我们要把速度换算成 米/分钟

B. 骑马修栅栏

• 此题要求每个栅栏恰好经过一次，而且保证有解，显然是一个欧拉图或半欧拉图。
• 但注意此题有重边，而每条重边都必须走一遍，所以如果用临界矩阵记录不能用a[i][j]=1表示i,j连通通，而应用a[i][j]=cnt表示i,j间有多少条重边
• 因为要输出路径，而且需要按字典序输出，所以边表不适合，所以只能用邻接矩阵记录。

C. 最短路径

• 裸裸的最短路，只是需要注意精度和数据范围。

D. 医院设置

• 此题最直接的方法是把分别把每一个点当作医院，然后求出距离和，然后看那个点的距离和最小
• 所以我们要求出任意两点间的距离，数据规模较小，显然floyd正好
• 假设节点数较大，我们该如何解决，我们有更好的方法吗？

E. 奶牛跨栏

• 题意：一个n<=300个点m<=25000条边的有向图，部分点间单向可达，边权为最大高度。
• 读懂题意就能明白做法，显然是一个最短路，只是松弛维护的不是距离而是高度，决策是使高度尽量小。

F. 最小花费

• 方法一：
• 此题很容易想到，银行当节点，1-手续比率 为权值，然后决策为乘法，求最长路即可。
• 但我们所学的算法均是解决最短路问题，不管是迭代还是贪心，均只能求最短路，因为一旦图中存在正权环，必然会无穷松弛，不存在最长路。
• 但此题可以，因为权值为0~1之间的小数，我们的决策为乘法，所以我们在逐步相乘的过程中，值会越来越小，此时如果求最短路反而不行，因为可能出现无线松弛，而最长路则不会。
• 方法二：
• 我们可以对问题稍作变化，边权为 1/(1-手续比率 为权值)，然后就可以正常做最短路。

G. 信使

• 裸的不能再裸的最短路，再解释是侮辱你们的智商。

H. 香甜的黄油

• 此题乃D.医院设置的同胞兄弟，不会看兄弟！

I. 学校选址

• 悄悄告诉你，此乃D、H弟弟！

J. 连接格点

• 题意：\(m \times n\) 的二维矩阵，某些点间已连接，抽象成图就是一个离散的图，我们需要加边，让整个图连通，加边的代价是纵向代价为1，横向代价为2
• 并查集是一个非常简单高效的判断图的连通性的算法，但我们如何吧矩阵的点变成一维的点呢？
  • 比如i,j表示第i行，第j列的点，转成一维x，显然有：x=(i-1)*n+j
  • 在数据读入时我们即可通过并查集把图分成若干个集合。然后再把这些集合通过建边合并起来
  • 因为纵向建边比横向费用低，所以我们优先纵向建边，即扫描二维矩阵，如果上下两个节点不在一个集合，则花费1建边，并合并。
  • 然后再扫描此二维矩阵，左右两点如果不在一个集合，则建费用为2的边。两遍扫描，整个图即为连通，此种建边必然费用最小。

K. 最优布线问题

• 题意：n个点，任意两点可以相连并有权值，求以最小代价让图成为连通图。
• 只需要连通，显然建的边越少越好，边权和越小越好，这不就是一个裸裸的最小生成树吗！

L. 局域网

• K题姊妹！！！

M. 繁忙的都市

• 此题条件1，2实际上就是要求我们求最小生成树，因为连通图最小边必然会是一颗树。
• 条件3告诉我们决策不是让权值和最小，而是求最小生成树的最大边，显然克鲁斯卡尔建完树后加的最后一条边即为max，s不用算，必然为n-1。

N. 联络员

• 此题再最小生成树的基本模型上稍加了点限制，及有一些边必选。
• 这有什么好说的，必选边先做并查集，然后从小到大对边排序，然后逐一判断，类似克鲁斯卡尔加边，直到整图连通。

O. 挖水井

• 此题是一道非常经典的板子题，很容易看出就是要求最小生成树，但困难的是如果在某个点选择挖井的话，因为并没有建边，所以无法判断图的连通性。如果我们能把挖井的费用也变成一条边的话此题就好解决了。
• 我们可以建一个1~n之外的一个虚点，比如0或n+1 ，然后对这1~n每个点和这个虚点建一条边，边权为挖井的费用。这样题就变成了n+1个点的图，裸裸的最小生成树了！
• 此模型大家一定牢记，再以后很多类似的处理方法。

P. 最小差值生成树

• 这道题实际没那么简单，但数据很弱就变的很简单了，简单的做法是什么呢？
• 我们把边按边权从小到大进行排序，排序后我们依次枚举最小的边，从这条边开始做最小生成树，然后求出差值，不停的枚举最小边直到剩下的边不足n-1，或无法产生生成树为止。

Q. 安慰奶牛

• 此题很好，唯一的败笔就是描述翻译的模糊不清，这也是我们信奥的特点，哎，一言难尽！
• 说白了，此题就是要我们把图变成一颗树，因为要保留最少的边且连通嘛，但是否是一颗以边权为排序依据的最小生成树呢？也不是，因为除了边有权值，每个点也有权值。
• 我们再分析一下，在保证边最少的情况下我们要遍历每个点至少一次，然后再回到起点。这不就是图的遍历嘛，显然图的遍历每一条边需要走两边，去一遍、返回一遍，来和去的时间代价一样，均为起点权值+边权+终点权值。
• 分析到这一步，答案就昭然若揭了嘛！我们就以(起点权值+边权+终点权值)*2建边，然后做最小生成树不就行了吗？如此简单！
• 不过我们还没有解决起点的问题，我们稍微模拟下就能很容易得出，在遍历整颗树最后回到起点，起点会多访问一次，显然嘛，我们就选权值最小的点作为起点即可。
• 此题除了描述有点信奥外，很好的一道题，好好领悟！

R. 公路建设

• 此题跟P有点类似，很多同学直接就没加一条边做一遍最小生成树，太暴力了，不过对此时的你们和此题的数据范围来说，的确也行了，不过我们还可以加一些优化。
• 优化一：前n-2条边可以直接输出0
• 优化二：可以边加边，边用并查集判断图的连通性，不连通直接输0
• 优化三：在做克鲁斯卡尔时，不用没加一条边就排一次序，因为加边时，前面的边已经有序，所以用二分差，插入当前边即可。