Some Interesting Integer Sequences

除了之前写过的Catalan Numbers和Perfect Squares的差，还有一些比较好玩的数列。

# of non-pairs

就是说有n对互相认识的CP，他们都不开心自己的现任对象，于是乎想换别人，这个数列就是可能的换法个数。

$a_1=0,a_2=1,a_3=2,a_4=9,a_5=44,a_6=265,a_7=1854,\cdots\quad a_{n+1}=n(a_{n-1}+a_n)$

\begin{aligned}
a_{n+1}&=n(a_n+a_{n-1})\\
a_{n+1}+a_n&=(n+1)a_n+na_{n-1}\\
\big(a_{n+1}-(n+1)a_n\big)&=-(a_n-na_{n-1})\\
(a_{n}-na_{n-1})&=-\big(a_{n-1}-(n-1)a_{n-2}\big)\\
a_n-na_{n-1}=(-1)^n&\Rightarrow\frac{a_n}{n!}-\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}=\frac{(-1)^n}{n!}
\end{aligned}

\begin{array}{c|c|c|c}
n&1&&2&&3&&4&&5&\cdots\\\hline
\frac{a_n}{n!}&0&&\frac{1}{2}&&\frac{2}{6}&&\frac{9}{24}&&\frac{44}{120}&\cdots\\\hline
差&&+\frac{1}{2}&&-\frac{1}{6}&&+\frac{1}{24}&&-\frac{1}{120}&\cdots
\end{array}

不过，必须假设所有原有的和新的CP都必须是男女。

否则如果没有任何性别的限制个数会变成$b_1=0,b_2=2,b_3=8,b_4=72,\cdots\quad b_{n+1}=2n\times(b_{n-1}+b_n)$，也就是每一项$b_n=2^{n-1}a_n$。）

二进制数列

一个原本看起来很匪夷所思的数列，但用上二进制会很好理解。

\begin{array}{c|c}
\text{\#}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\\hline
\text{base 2}&1&10&11&100&101&110&111&1000&1001&1010&1011&1100&111&1110&1111&10000\\\hline
\text{number}&1&2&1&3&1&2&1&4&1&2&1&3&1&2&1&5&...\\\hline
\text{letter}&a&b&a&c&a&b&a&d&a&b&a&c&a&b&a&e&...
\end{array}

 

除此之外，还有一些，可以去OEIS上去找