时间复杂度数量级分析
“大 O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。
注意：“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。
这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;
分析：
以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。
这里的1不是1，只是表示一个常数；
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n2)
2.1. 交换i和j的内容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j<=n;j++) （n2次 ）
sum++； （n2次 ）
解：T(n)=2*n2+n+1 =O(n2)
2.2.
for (i=1;i<n;i++)（n-1次）
{
y=y+1; //1
for (j=0;j<=(2*n);j++)（2*n+1次）
x++; //2
}
解： 语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2*n+1)=2*n2-n-1
f(n)=2*n2-n-1+(n-1)=2*n2-2
该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).
O(n)
2.3.
a=0;
b=1; //1
for (i=1;i<=n;i++) //2
{
s=a+b; //3
b=a; //4
a=s; //5
}
解： 语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1; //1
while (i<=n)
i=i*2; //2
解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2f(n)<=n; f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解： 当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次 ,所以i从0取到n, 则循环共进行了:
0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n3).
我们还应该区分 算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是 O(n2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。
下面是一些常用的记法：
访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法 如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n3)，因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n2。
指数时间算法通常来源于需要 求出所有可能结果。例如，n个元素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。
技巧1：
For(i=1; i<n; i*=2)
{
}
那么这个程序片段的时间复杂度就是：O(log2n);
