2023-07-01 开摆

CF671E Organizing a Race

考虑一组 \([L,R]\) 是否合法。

最优的策略肯定是，从 \(L\) 开始往右走，每次发现油不够了就贪心在自己这里加油。最后把所有剩下的全加在 \(R\) 上。

现在描述一下“油不够”的情况。设 \(f_x\) 表示从 \(n\) 走到 \(x\) 的油量。（可以发现，\(f\) 可能有负数）

那么，如果 \(f_x \le f_y\)，就说明从 \(x\) 向左走到 \(y\) 不用额外加油。同样如果 \(f_x-k \le f_y\) 就说明如果你可以做 \(k\) 次操作你也能从 \(x\) 向左走到 \(y\)。

扫描线从右往左扫描左端点，我们可以动态维护出为了保证从左往右能走过去，应该怎么加油。（一共只有 \(O(n)\) 次修改）每次修改都是对 \(f\) 的区间加减。

为了方便，我们可以认为在 \(x\) 位置操作使得 \([x,n]\) 的区间的 \(f\) 减少 \(1\)。

我们设 \(f'\) 表示修改以后得到的新 \(f\)。先预先算出 \(r'\) 表示保证从左往右的情况下最远的右端点，于是要求真实的右端点不超过 \(r'\)。这时 \(f\) 的限制就可以看作是：

\[f_r \le \min_{i=l}^{r} f'_i \]

其实最远的 \(r\) 并不好找。不过我们可以快速 chk 一个区间 \([L,R]\) 是否有合法的解。具体的说，我们取出这个区间最大的 \(f\) 的位置，如果它不合法区间就无解。

证明可以讨论一下。不过我们有了这个结论后，就能线段树二分解决了。