一个经典的 FWT 问题

黎明前的巧克力

给定集合 \(S\)，求：

\[\sum_{A,B\subseteq S\\A\cap B=\emptyset}|\text{xor}_{x\in A\cup B}\ x=0| \]

\(n,a_i \le 10^6\)

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相当于求：

\[[x^0] \prod_{i}(1+2x^{a_i}) \]

对每个 \(i\) 分别做 fwt，考察每个式子的贡献。

fwt 做过以后得到 \(g_S = \sum_T (-1)^{|S \cap T|} f_T\)，带入上面的式子就知道：

\[g_x=\prod_{i}(1+2\times (-1)^{|x\ \text{and}\ a_i|}) \]

只需对每个 \(x\) 算出，贡献 \(-1/3\) 分别的次数。

总之我们得到 \(\sum (-1)^{x\ \text{and}\ a_i}\) 就行了，直接对 \(\sum x^{a_i}\) 做个 fwt 就能得到具体的系数。

由于我们只需得到 \(Ans_0\)，所以可以不做逆 fwt。

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给定 \(n\) 个 \(m\) 元组 \((a_{i,1},\cdots,a_{i,m})\)。

对每个 \(x \in [0,2^k)\) 计算，有多少个 \(i\) 满足 \(\forall j, [(-1)^{|a_{i,j}\ \text{ and } x|}=-1]\)

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我们想用一次 fwt 计算答案。

记 \(f(S)\) 表示集合 \(S\) 的异或和。

给出结论：如果 \(x\) 对 \(m\) 元组 \(A_{m}\) 存在贡献，那么：

\[\sum_{S \subseteq A} (-1)^{|S| + |f(S)\text{ and }x|}=2^{m} \]

反之，上式为 0。

于是合在一起做个 fwt 就行了。