ARC150F Constant Sum Subsequence 解题记录

题意：

给定长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，保证对每个 \(i\in[1,S]\)，\(i\) 都在 \(A\) 中出现了至少一次。

令 \(X\) 表示 \(A\) 重复 \(S\) 次组成的序列。

求最小的 \(L\)，满足：

对每个和为 \(S\) 的序列 \(B\)，\(B\) 都是 (\(X\) 的前 \(L\) 个元素组成的序列) 的子序列。

\(n \le 1.5\times 10^6, S\le2\times 10^5\)

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考虑一个朴素的 dp。

令 \(dp_i\) 表示：\(X\) 的前 \(i\) 个元素组成的序列，可以包含所有的和不大于 \(dp_i\) 的序列。

易知有这样的转移：

维护一个辅助数组 \(g\)，其中 \(g_i\) 表示结尾为 \(i\) 的序列此时的答案。
枚举每个 \(i \in [1,n\times S]\)，令：

\[dp_i=\min_{j=1}^S g_j\\ g_{X_i}=\max(g_{X_i},dp_{i-1}+X_i) \]

采用适当的维护方法，就可做到复杂度 \(O(n\times S)\)。

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仔细分析可知 \(dp_i\) 只有 \(O(S\log S)\) 个不同的取值。

这引导我们得到和 \(dp_i\) 取值强相关的做法。

我们考虑对 \(dp_i\) 相同的一段进行快速转移。

维护 \(L\)，表示此时只考虑 \(i<L\) 的 \(dp_i\) 转移。
接下来从小到大对最小的一些 \(g_i\) 一次性更新这些：

\[g_i=dp_{*}+i \]

如果此时 \(g_i\) 没有发生变化，就更新 \(L\)，并令 \(g_i\to g_i+i\)。

仔细分析，可知每当 \(g_i\) 更新两次，\(g_i\) 至少变大 \(i\)。

总复杂度 \(O(S\log^2(n+S))\)，可以通过此题。