ARC150F Constant Sum Subsequence 解题记录

题意：

给定长度为 $n$ 的序列 $A$，保证对每个 $i\in[1,S]$，$i$ 都在 $A$ 中出现了至少一次。

令 $X$ 表示 $A$ 重复 $S$ 次组成的序列。

求最小的 $L$，满足：

对每个和为 $S$ 的序列 $B$，$B$ 都是 ($X$ 的前 $L$ 个元素组成的序列) 的子序列。

$n \le 1.5\times 10^6, S\le2\times 10^5$

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考虑一个朴素的 dp。

令 $dp_i$ 表示：$X$ 的前 $i$ 个元素组成的序列，可以包含所有的和不大于 $dp_i$ 的序列。

易知有这样的转移：

维护一个辅助数组 $g$，其中 $g_i$ 表示结尾为 $i$ 的序列此时的答案。
枚举每个 $i \in [1,n\times S]$，令：

$$dp_i=\min_{j=1}^S g_j\\ g_{X_i}=\max(g_{X_i},dp_{i-1}+X_i)$$

采用适当的维护方法，就可做到复杂度 $O(n\times S)$。

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仔细分析可知 $dp_i$ 只有 $O(S\log S)$ 个不同的取值。

这引导我们得到和 $dp_i$ 取值强相关的做法。

我们考虑对 $dp_i$ 相同的一段进行快速转移。

维护 $L$，表示此时只考虑 $i<L$ 的 $dp_i$ 转移。
接下来从小到大对最小的一些 $g_i$ 一次性更新这些：

$$g_i=dp_{*}+i$$

如果此时 $g_i$ 没有发生变化，就更新 $L$，并令 $g_i\to g_i+i$。

仔细分析，可知每当 $g_i$ 更新两次，$g_i$ 至少变大 $i$。

总复杂度 $O(S\log^2(n+S))$，可以通过此题。