随机乱做计划 Part 2

对 Umnik 想题法的两个尝试。

随机挑选四个题，什么时候想出来了再更新。

由于博主水平有限，所以不会做是正常情况。

CF1491G *2800
CF1392G *2900
CF1266F *2900
CF1610H *3100

题意：

CF1491G

桌面上有 $n$ 枚硬币。初始时，第 $c_i$ 号硬币位于位置 $i$ ，正面朝上（ $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 是一个 $1 \sim n$ 的排列）。你可以对这些硬币做一些操作。每次操作，你可以如下进行：

选择两个不同的 $i$ 和 $j$ 。
交换位于 $i$ 和 $j$ 的两枚硬币。
把位于 $i$ 和 $j$ 的两枚硬币分别翻转。

你可以进行不超过 $n + 1$ 次操作，使得第 $i$ 号硬币位于位置 $i$ ，且都是正面朝上。

你不需要最小化操作的次数，输出任意一种方案即可。

$3 \le n \le 2\times 10^5$

想法

考虑若干个环。

容易发现长度为 $n$ 的环可以在 $n+1$ 次操作做完。

长度为 $x,y$ 的两个环可以在 $x+y$ 次操作同时做完。

submission

CF1392G

给定两个长度为 $k$ 的 $01$ 串 $S,T$ ，分别是起始串和目标串。

依次给出 $n$ 个可选操作，第 $j$ 个操作 $a_j,b_j$ 表示交换起始串的 $a_j$ 位置与 $b_j$ 位置。

你需要选择操作序列中其中连续的一段操作依次按顺序执行，并且选择的操作数量不小于 $m$ 。

你需要让操作完成后的串与目标串对应相同的位置数量尽可能多。

输出最大数量与你选取操作的区间（若有多种方案输出任意一个即可）。

$2\le k \le 20, 1\le m \le n \le 10^6$

想法

尝试差分。

令 $a_i$ 表示 $S$ 操作 $[i,n]$ 的结果， $b_i$ 表示 $T$ 操作 $[i,n]$ 的结果。

相当于找到 $x,y$ 满足 $y-x \ge m$ 令 $\max \text{pop_count}(a_x\ \text{xor}\ b_y)$ 。

注意到 $k$ 较小，子集 dp 即可。

submission

CF1266F

给出一颗 $n$ 个点的树 ( $2\leq n\leq 5\times 10^5$ )。

对于 $k\in[1,n]$ ，找出一个最大的点集，使得点集内任意两点间距离为 $k$ 或 $k+1$ 。

想法

显然对 $k \not=1$ ，一定是三种情况：

$2\not\mid k$ ，选一个点作为根，每个子树选一个距离为 $\dfrac{k}{2}+1$ 的点，至多选一个距离为 $\dfrac{k}{2}$ 的点。
$2\mid k$ ，选一个点作为根，每个子树选一个距离为 $\dfrac{k}{2}$ 的点。
$2\mid k$ ，选一个边，连接两个点的每个子树选一个距离为 $\dfrac{k}{2}$ 的点。

困难在于：如果枚举每个点，并计算每个 $k$ 的贡献，时间复杂度难以承受。

注意到每个点可能的最大答案不超过其度数，我们考虑枚举每个点，并计算每条出边的贡献。

这样就能解决 $\text{case} 1,2$ 。

对于 $\text{case} 3$ ，我们实际需要解决的问题是：

$O(m)$ 次单点加， $n$ 次查询树上选出一条边，端点之和的最大值。

把一个点的贡献算到父亲上就好了。

submission

CF1610H

猫猫们看了鱿鱼游戏，对其很感兴趣，决定自己举办一个猫猫游戏。

有 $m$ 只猫猫参与了游戏，游戏失败的猫猫要被拉出去和铃酱贴贴。

蓝是游戏的裁判，由于所有猫猫都想和铃酱贴贴，于是她要淘汰所有的猫猫。下面是她淘汰猫猫的方式：

有一棵 $n$ 个结点的无根树，每只猫猫都有两个特殊结点 $x_i$ 与 $y_i$ 。
在一次操作中，蓝可以选择某个结点 $v$ 。接下来，对于所有未被淘汰的猫猫 $i$ ，蓝将找到一个结点 $w$ ，满足其在 $x_i$ 到 $y_i$ 的简单路径上且距离 $v$ 最近，若 $w\neq x_i$ 且 $w\neq y_i$ ，那么猫猫 $i$ 将会被淘汰。

现在蓝想要知道她至少要进行多少次操作才能淘汰所有的猫猫。如果无论如何都不能淘汰所有的猫猫，请输出 $-1$ 。

输入数据的第一行含两个数 $n$ 与 $m$ ，意义同上所述。第二行含 $n-1$ 个数 $par_2,par_3,\dots,par_n$ ，其中 $par_i$ 代表无根树上存在一条连接 $i$ 与 $par_i$ 的边。接下来 $m$ 行，第 $i$ 行含两个数 $x_i$ 与 $y_i$ ，意义同上所述。