随机乱做计划 Part 1
对 Umnik 想题法的一个尝试。
随机挑选四个题，什么时候想出来了再更新。
由于博主水平有限，所以不会做是正常情况。
题意：
CF1479D
给一棵树，每个点有颜色 \(c_i\)，多次查询，每次给定 \(u,v,l,r\)，你需要给出一个颜色 \(x\)，使得 \(x\) 满足：
- \(x\in [l,r]\)
- \(x\) 在 \(u\) 到 \(v\) 的路径上出现了奇数次。
你需要对于每组查询给出 \(x\)，如果一组查询不存在合法的 \(x\)，则输出 \(-1\)。
\(n,m\le 3\times 10^5\)
想法
判断是否存在合法颜色存在一个简单的 hash 算法，即给颜色随机赋权，然后计算异或和。
用一颗主席树维护即可。
CF1552G
给定数列长度 \(n\)，操作数 \(k\)。每次操作选择若干个位置，将其升序排列。
对于第 \(i\) 次操作，给定操作的位置数 \(x_i\) 和 \(x_i\) 个位置 \(j_{i,1},j_{i,2},...,j_{i,x}\)。
求是否对于每一种初始数列，都能在 \(k\) 次操作后升序排列好。
\(n\le 40,k \le 10\)
想法
根据排序网络的经典结论，我们只需对每个 \(01\) 序列都能排序即可。
接下来就不会了，看了题解觉得很震撼。
枚举每次操作，暂时不处理没有被操作覆盖的位置。对每次操作，一次性枚举其中 \(0\) 的数量。
事实上它的复杂度不高于 \(O((\dfrac{n+k}{k})^k)\)。
（虽然实现的时候复杂度不小心假了但还是过了。
CF1566G
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的带权无向图，现有 \(q\) 次如下两种操作：
-
0 u v：删除边 \(\langle u,v \rangle\)，保证 \(\langle u,v \rangle\) 存在； -
1 u v w：添加边 \(\langle u, v \rangle\)，边权为 \(w\)，保证加边前 \(\langle u, v \rangle\) 不存在。
初始时和每次操作后，需要找出 \(4\) 个不同的点 \(a, b, c, d\)，满足 \(a,b\) 联通，\(c,d\) 联通，且 \(a\) 到 \(b\) 的最短路径与 \(c\) 到 \(d\) 的最短路径权值之和最小，求出这个最小权值和。这里最短路径即指边权和最小的路径。
数据保证初始时无重边，保证任意时刻图中边数不少于 \(4\)；不保证图联通。
\(n,m,q \le 10^5\)
想法
一眼大讨论，不太有意思的样子。
稍微讨论一下：
- 两条不相交的边。
- 四个点的菊花。
分别处理这两种即可。
- 两条不相交的边。
线段树分治，那么只用处理加边的情况。
容易发现只需在任意时刻保存 \(O(1)\) 条有用的边. - 四个点的菊花。
那么显然对于每个点只需保存三条最短的边。
也可以线段树分治。
看了题解，做法也差不多，但是可以不线段树分治。
做法省略了，因为实在很难写，不如线段树分治。详见提交。
CF1610G
给定一个括号串 \(S\)，进行任意次操作：
- 将 \(S\) 分为三个可以为空的连续子串 \(A,B,C\)，接着将 \(S\) 变为一个新串 \(A(B)C\)（即在 \(B\) 前加上左括号，在 \(B\) 后加上右括号）。
给定最终串 \(T\)，求可能的字典序最小初始串 \(S\)。
\(1 \leq |T| \leq 3\times10^5\)。
想法
有一个很简单的做法：令 \(f_i\) 表示 \([i,n]\) 的答案。
显然有转移：\(f_i=\min(S_i+f_{i+1},f_{g_i})\)。
那么只需比较字典序。
相当于 trie 上插叶子，查询倒序字典序，倍增即可。
\(O(n\log n)\)。
