GYM102412J Yet Another Mex Problem 解题记录
题意：
给定序列 \(a\)，一个常数 \(k\)。
记一个区间 \([l,r]\) 的贡献为 \(\text{mex}(a_l,\cdots,a_r)\times (\sum_{i=l}^r a_i)\)。
你需要把 \(a\) 划分为若干个大小不超过 \(k\) 的区间，最大化贡献和。
\(1 \le n \le 2\times 10^5\)
记 \(dp_x\) 表示以 \(x\) 作为结尾的最大贡献，\(S_x\) 表示前缀和。
有如下的转移：
我们考虑对右端点 \(r\) 维护每个左端点 \(l\) 的 \(\text{mex}\) 值。
只需对于每个 \(\text{mex}\) 相同的 \(l\) 段分别计算答案。
首先来考虑如何维护 \(\text{mex}\)，首先显然对于固定的右端点 \(r\)，\(\text{mex}(a_l,\cdots,a_r)\) 是有单调性的。
而插入一个数字 \(x\) 后，所有 \(\text{mex}\) 为 \(x\) 的位置都会发生改变。
我们只需要每次对这个段里，一段 \(\text{mex}\) 相同的位置一起处理，均摊下复杂度就是正确的。
可以简单的用线段树二分处理。现在来讨论如何计算贡献。
我们知道一个点 \(l\) 的贡献可以看成 \(dp_{l}-S_l\times \text{mex}\)。
对于 \(\text{mex}\) 相同的段，只需求出 \(dp_{l}-S_l\times \text{mex}\) 的最大值。
那么查询一段 \(\text{mex}\) 相同的区间的答案，只需线段树维护凸包即可。均摊 \(O(n\log n)\)。
对于每个段，它的贡献是关于 \(S_r\) 的一次函数，因此也可以用线段树维护凸包。
对于 \(k\) 的限制，我们只需每次查询一段后缀的答案，然后手动查询一个段的答案即可。
这样总复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，可以通过此题。
但是其实有 \(O(n\log n)\) 的做法：
预处理出每个时刻，\(\text{mex}\) 发生改变的区间，均摊是 \(O(n)\) 个。
放在线段树上，当求出某个区间 \([l,r]\) 的所有 \(dp\) 值时，就可以得到这个区间对应的 \(\text{mex}\) 的最值，这可以在 \(O(n\log n)\) 的时间内做到。
类似标记永久化，再使用线段树维护每个区间的凸包，即可均摊 \(O(n\log n)\) 的时间解决此问题。
