ARC147F Again ABC String 解题记录

题意：

给定整数 \(X,Y,Z\)，称一个字符串 \(S\) 合法，当且仅当：

1. \(|S|=n\)
2. 仅由字符 \(\texttt{A,B,C}\) 构成。
3. 对每个 \(i\) 满足：
   • 记 \(A_i,B_i,C_i\) 表示 \(S\) 前 \(i\) 个字符中，字符 \(A\),\(B\),\(C\) 的出现数量。
   • \(A_i-B_i \le X\)
   • \(B_i-C_i \le Y\)
   • \(C_i-A_i \le Z\)

计算答案对 \(2\) 取模的结果。

数据组数 \(T\le 10\)，\(1 \le n,X,Y,Z \le 10^9\)。

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考虑以下的转化：

对一个长度为 \(L=X+Y+Z+3\) 的环，有三个人的坐标为 \(0,X+1,X+Y+1\)。一共走 \(n\) 步，两个人不能重叠，问方案数。

题意相当于是从任意一个形态开始，问走 \(n\) 步后三个人的坐标为 \(0,X+1,X+Y+1\) 的方案数。

先写出朴素的 dp：

记下当前步数；第二个人与第一个人的距离；第三个人与第二个人的距离：

\[dp_{i,j,k}=dp_{i-1,j-1,k}+dp_{i-1,j+1,k-1}+dp_{i-1,j,k+1} \]

要求 \(j\not = 0,k\not =0,j+k\not =L\)。

我们期望使用生成函数描述这个 dp，但是由于上下界的限制并不好做。

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官方题解介绍了一种可以解决此类对 \(2\) 取模问题的方法 ——

我们考虑对 \(j\not=0,k\not = 0,j+k<L\) 定义 \(dp_{i,L-j,L-k}\) 的值和 \(dp_{i,j,k}\) 相等，接下来进行这样的转移：

\[dp_{i,j,k}=dp_{i-1,j-1\bmod L,k\bmod L}+dp_{i-1,j+1\bmod L,k-1\bmod L}+dp_{i-1,j\bmod L,k+1\bmod L} \]

我们可以发现 —— 在 \(j = 0 / k =0 / j+k =L\) 的位置，\(dp\) 值在膜 \(2\) 意义下被抵消了！

于是可以直接维护这个 \(dp\)，写成生成函数形式，我们有：

\[F_i(x,y)=(F_{i-1}(x,y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{y}+y))\bmod((x^L-1)(y^L-1)) \]

初值是 \(F_0(x,y)=\sum_{i=0}^{L-1}\sum_{j=0}^{L-1}x^iy^j-\sum_{i=0}^{L-1}x^i-\sum_{i=0}^{L-1}y^i-\sum_{i=0}^{L-1}x^iy^{L-i}\)。

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令 \(G=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{y}+y)\)。

拆开上面的初值，分别求乘以 \(G^n \bmod((x^L-1)(y^L-1))\) 的结果提取 \(x^{X+1}y^{Y+1}\) 的系数即可。

对于 \(\sum_{i=0}^{L-1}\sum_{j=0}^{L-1}x^iy^j\) 的部分，乘以 \(G\) 相当于每个系数都乘以 \(3\)，因此贡献一定是 \(1\)。

对于 \(\sum_{i=0}^{L-1}x^i\) 的部分，乘以 \(G\) 后在 \(y\) 相同的位置的系数显然相同，因此我们实际想求以下的问题：

\[Ans=[x^t](1+x+\dfrac{1}{x})^n\bmod(x^L-1) \]

容易发现对于剩下两项是求类似的问题。

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首先可以将 \(n\) 分解成若干个二的幂次 \(2^{a_i}\) 的和，显然答案也能表达为：

\[[x^t]\prod_i (1+x^{2^{a_i}}+x^{2^{-a_i}})\bmod(x^L-1) \]

直接计算即可在 \(O(L\log n)\) 的时间内解决该问题。

我们想要得到一个在 \(L\) 上相对较小的算法解决以平衡复杂度。

考虑下式：

\[[x^{t+kL+n}]\prod_i (1+x^{2^{a_i}}+x^{2^{a_i+1}}) \]

对一个固定的 \(k\)，显然可以进行数位dp解决。

因此总复杂度为 \(O(\dfrac{n}{L}\log n)\)。

平衡一下即可在 \(O(\sqrt n\log n)\) 的时间内解决此题！！

好题该顶。