算法学习 之 欧几里得算法和扩展欧几里得算法（二）
关于扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm），我是在做青蛙的约会这一经典题目才接触到这个算法的。后面也有关于这一题的AC代码和解题思路。
内容：已知a, b，求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by =gcd(a, b)
扩展欧几里得算法，就和它的名字一样是对欧几里得算法的扩展。何为扩展？一是，该算法保留了欧几里得算法的本质，可以求a与b的最大公约数。二是，已知a, b求解二元一次方程ax+by =gcd(a, b)的一组解（x，y）。
证明：
假设 a>b,
(1) b=0 gcd(a,b) = a , ax = a , 则x=1，y=0;（这里我还是推荐不把gcd(a,0)理解成最大公约数，而是一个计算机求出来的值）
(2) 假设 ax1+by1=gcd(a,b) (方程一) bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)（方程二）;由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到，
ax1+by1 = bx2+(a%b)y2，即ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)
在根据多项式恒等定理（把a,b看成变量），x1=y2; y1=x2-a/b*y2;
（表面上看，就是已知方程一的一组解，可以得到方程二的一组解，已知方程二的一组解，就可以得到方程一的一组解，但是实际情况是，不可能先知道方程一的解（x1,y1）。）上述思想是递归定义的，不断地利用gcd(a,b) =gcd(b,a%b)，到b=0（y的系数为0）时，由(1)的解，根据解之间的关系，最终可以得到方程ax+by =gcd(a, b)的解。
递归形式代码：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 5 { 6 if(b==0) 7 { 8 x=1; 9 y=0; 10 return a; 11 } 12 int gcd=exgcd(b,a%b,x,y); 13 int x2=x,y2=y; 14 x=y2; 15 y=x2-(a/b)*y2; 16 return gcd; 17 } 18 19 int main() 20 { 21 int x,y,a,b; 22 cout<<"请输入a和b:"<<endl; 23 cin>>a>>b; 24 cout<<"a和b的最大公约数:"<<endl; 25 cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl; 26 cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<endl; 27 cout<<x<<" "<<y<<endl; 28 return 0; 29 }
非递归形式代码：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 5 { 6 int x1,y1,x0,y0; 7 x0=1; y0=0; 8 x1=0; y1=1; 9 x=0; y=1; 10 int r=a%b; 11 int q=(a-r)/b; 12 while(r) 13 { 14 x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; 15 x0=x1; y0=y1; 16 x1=x; y1=y; 17 a=b; b=r; r=a%b; 18 q=(a-r)/b; 19 } 20 return b; 21 } 22 23 int main() 24 { 25 int x,y,a,b; 26 cout<<"请输入a和b:"<<endl; 27 cin>>a>>b; 28 cout<<"a和b的最大公约数:"<<endl; 29 cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl; 30 cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<endl; 31 cout<<x<<" "<<y<<endl; 32 return 0; 33 }
运行截图：
同样有两点想说明：
1.扩展欧几里得算法是对欧几里得算法的扩展，可以求出gcd(a,b)，好多人都没意识到这一点。
2.x,y可以用全局变量，参数传递就不用传引用了。
