算法学习 之 欧几里得算法和扩展欧几里得算法（二）

关于扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm），我是在做青蛙的约会这一经典题目才接触到这个算法的。后面也有关于这一题的AC代码和解题思路。

 

内容：已知a, b，求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by =gcd(a, b)

 

扩展欧几里得算法，就和它的名字一样是对欧几里得算法的扩展。何为扩展？一是，该算法保留了欧几里得算法的本质，可以求a与b的最大公约数。二是，已知a, b求解二元一次方程ax+by =gcd(a, b)的一组解（x，y）。

 

证明：

 

假设 a>b,

(1)  b=0  gcd(a,b) = a ,  ax = a ,  则x=1，y=0;（这里我还是推荐不把gcd(a,0)理解成最大公约数，而是一个计算机求出来的值）

(2) 假设 ax1+by1=gcd(a,b) (方程一) bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)（方程二）;由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到，

ax1+by1 = bx2+(a%b)y2，即ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

 

在根据多项式恒等定理（把a,b看成变量），x1=y2; y1=x2-a/b*y2;

 

（表面上看，就是已知方程一的一组解，可以得到方程二的一组解，已知方程二的一组解，就可以得到方程一的一组解，但是实际情况是，不可能先知道方程一的解（x1,y1）。）上述思想是递归定义的，不断地利用gcd(a,b) =gcd(b,a%b)，到b=0（y的系数为0）时，由(1)的解，根据解之间的关系，最终可以得到方程ax+by =gcd(a, b)的解。

 

递归形式代码：

 

#include<iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
     if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    int x2=x,y2=y;
    x=y2;
    y=x2-(a/b)*y2;
    return gcd;
}

int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"请输入a和b:"<<endl;
cin>>a>>b;
cout<<"a和b的最大公约数:"<<endl;
cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<endl;
cout<<x<<" "<<y<<endl;
return 0;
}

 

 

　　

 

 

非递归形式代码：

 

#include<iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int x1,y1,x0,y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    int r=a%b;
    int q=(a-r)/b;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        a=b; b=r; r=a%b;
        q=(a-r)/b;
    }
    return b;
}

int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"请输入a和b:"<<endl;
cin>>a>>b;
cout<<"a和b的最大公约数:"<<endl;
cout<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<endl;
cout<<x<<" "<<y<<endl;
return 0;
}

 

 

　　

运行截图：

 

同样有两点想说明：

1.扩展欧几里得算法是对欧几里得算法的扩展，可以求出gcd(a,b)，好多人都没意识到这一点。

2.x,y可以用全局变量，参数传递就不用传引用了。