浮点数运算的一些问题

引入

先来看个代码：

print(1-0.7 == 0.3)

很多人会觉得这一看不就是True吗，但实际上结果为False。因为1-0.7的结果为0.30000000000000004

浮点数转二进制的方法

可以用这个网站验证答案：https://c.runoob.com/front-end/58/

因为所有的数据本质都是通过二进制数存储的，所以要分析这个问题的本质，我们得先去看浮点数的二进制表示。因为整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。

（1）整数部分：整数部分比较简单，因为一个有限的十进制整数都能转换成有限的二进制数。采用除2取余，逆序连接的方法，代码如下：

?

1 2 3 4 5 6 7

n = 173 ls = [] while n != 0:     ls.append(str(n%2))     n//=2 ls.reverse() print(''.join(ls))

（2）小数部分：小数部分会麻烦一点了，具体的方法为：

'''
如：0.625=（0.101）bin
0.625*2=1.25======取出整数部分1
0.25*2=0.5========取出整数部分0
0.5*2=1==========取出整数部分1
直到积中的小数部分为零为止，从上倒下连接
'''
import math

n = 0.625
s = ''
while int(n)!= n:
    n*=2
    s+=str(int(n))
    n = math.modf(n)[0]
print(s)

在这里可以发现，十进制的小数转二进制的时候，很容易就会无限循环下去，例如0.2转换成二进制就i是0011001100110011001100……，由于计算机存储的位是有限的，所以必然会造成精度的损失。

IEEE 754 

这里就不得不提到IEEE 754 了，这东西其实就是一个浮点数的运算标准。因为对于有符号整数来说，存储的方式其实很简单，一位表示符号，剩下的位都可以用来表示数值，但浮点数的情况比较复杂。对于float32，也就是32位的浮点数，是这样表示的：V = (-1)^S*M*2^E

 （1）(-1）^s 表示符号位，当 s=0，V 为正数；当 s=1，V 为负数

 （2）M称为尾数，1≤ M <2，也就是说，M 可以写成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小数部分。

 （3）E表示阶码。例如浮点数5.0,用二进制表示是101.0，用科学计数法表示为1.01*2^2（注意，因为这里是二进制数，所以是乘2的2次方而不是10的二次方）。此时阶码E就是2，尾数M为1.01

对于 32 位的浮点数，最高的 1 位是符号位 s，接着的 8 位是指数 E，剩下的 23 位为有效数字 M。

尾数

因为M 总是写成 1.xxxxxx *2^E的形式，所以在计算机内部保存 M 时，默认这个数的第一位总是 1，因此可以被舍去，只保存后面的 xxxxxx 部分。比如保存 1.01 的时候，只保存小数部分的 01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省 1 位有效数字。以32位浮点数为例，留给 M 只有 23 位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存 24 位有效数字。

阶码

上面说到了，阶码是一个八位的二进制数，并且它是一个无符号数，所以取值范围是[0,255]。但是科学计数法中的指数并不一定都是正数，例如十进制0.5转换为二进制是0.1,因为1<=M<2,所以要写成1*2^-1,所以阶码部分，采用移码来表示。简单地讲，就是阶码的真实值为计算机存储值减去中间数127，比如，2^10 的 E 是 10，所以保存成 32 位浮点数时，必须保存成 10+127=137，即 10001001，这样阶码的范围就变成了[-127,128]。阶码这里又有一些特殊情况：

（1）阶码E全为0，有效数字 M 不再加上第一位的 1，而是还原为 0.xxxxxx 的小数。这样做是为了表示机器零（计算机中小到机器数的精度达不到的数均视为“机器零”），以及接近于 0 的很小的数字。

（2）阶码E全为1，阶码全为1的情况有两种，用来表示特殊值，第一种是尾数M也全为1，这时表示正负无穷大（正还是负取决于符号位）。若M不全为1，则表示NaN（Not a Number，非数，这个概念也是IEEE 754定义的），例如0除以0的结果。

1-0.7==0.3为什么为False

上面我们解释了为什么1-0.7的结果是0.30000000000000004了，由于计算机存储浮点数的位数有限，所以浮点数转成二进制表示的时候，必然会造成精度的损失，例如0.3转换为二进制表示为：

0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101（舍入后的的结果），而把这一串再转换为十进制就是0.30000000000000004

 

而我们自定义的0.3,虽然本质上也是二进制存储的，它实际上也是0.30000000000000004，但是为了保证浮点数运算运行的结果大部分时候与用户预期一致，所以程序在以十进制表示这个数据的时候，会按照用户自定义的精度对数据进行舍入。例如我们定义a=0.3，那么在对变量a取值的时候，程序就会把0.30000000000000004舍入为0.3，保持输入与输出一致。但是在进行1-0.7计算的时候，因为用户并没有指定期望的结果精度，所以对于运算结果，程序不会做限制，直接取得0.30000000000000004。

 遗留的问题

使用加减法很容易出问题，但乘除法不会。

print(1-0.9)#0.09999999999999998
print(0.2/2)#0.1

至于是为什么，暂时还搞不清楚，以后来填坑