D. 相似基因 - 2023HBUCM程序设计竞赛

题面

p哥作为一名湖中医信息工程学院的同学，不仅对信息有兴趣，同时对生物也很有兴趣。相信大家从初高中生生物基本知识都知道，DNA基因可以看作一个碱基对序列。它包含了 $4$ 种核苷酸，简记作 $A,C,G,T$。
现在假设想计算两个基因的相似程度，相似度的计算方法如下：
对于两个已知基因，例如AGTGATG和GTTAG，将它们的碱基互相对应。当然，中间可以加入一些空碱基-，例如：

A	G	T	G	A	T	-	G
-	G	T	-	-	T	A	G

这样,两个基因之间的相似度就可以用碱基之间相似度的总和来描述，碱基之间的相似度如下表所示：

	A	C	G	T	-
A	5	-1	-2	-1	-3	A
C	-1	5	-3	-2	-4	C
G	-2	-3	5	-2	-2	G
T	-1	-2	-2	5	-1	T
-	-3	-4	-2	-1	*	-

那么相似度就是：$(-3)+5+5+(-2)+(-3)+5+(-3)+5=9$ 。但中间添加空碱基的方式不一定，因此两个基因的对应方法不唯一，例如又有：

A	G	T	G	A	T	G
-	G	T	T	A	-	G

相似度为：$(-3)+5+5+(-2)+5+(-1)+5=14$。
规定两个基因的相似度为所有对应方法中，取相似度最大的那个。

输入：共两行。每行首先是一个整数，表示基因的长度；隔一个空格后是一个基因序列，序列中只含 $A,C,G,T$ 四个字母。$1<=$ 序列的长度 $<=100$。
输出：仅一行，即输出基因的相似度。

题解

什么时候考虑DP：最优子结构、重叠子问题。

• 最优子结构： 问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。
  在这个问题中，两个基因序列的最优匹配可以通过子问题（较短的基因序列的匹配）的最优匹配来构建。
• 重叠子问题： 在解决问题的过程中，会多次遇到相同的子问题。
  在这个问题中，计算两个基因序列的相似度时，可能会多次计算相同子序列的相似度。通过动态规划，可以将中间结果存储起来，避免重复计算，提高效率。

复习一下闫式dp分析法：AcWing 2. 01背包问题
集合：$a$ 串的前 $i$ 个碱基 + $b$ 串的前 $j$ 个碱基；
属性：要求最大相似度，即为最大价值问题。
划分方案：对于任意一对碱基，有且仅有以下三种情况：

• 非空碱基和非空碱基
• 非空碱基和空碱基
• 空碱基和非空碱基

本题状态转移的关键点：只需要考虑最后一对碱基，逐步缩小问题规模。
状态转移方程：$f_{i,j}=max(f_{i-1,j-1}+d_{ai,bj},f_{i-1,j}+d_{ai,\mathrm{空}},f_{i,j-1}+d_{bj,\mathrm{空}})$
其中 $d$ 表示两个碱基之间的相似程度。
边界问题：$f_{i,0}=f_{i-1,0}+d_{ai,\mathrm{空}}$，$f_{0,j}=f_{0,j-1}+d_{bi,\mathrm{空}}$
考虑问题规模变小到极限的情况，此处为碱基串首/尾未对齐，与空串匹配的情况。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 105;
int n, m, f[N][N];
string a, b;
 
//建立相似度对应关系，也可以使用矩阵
int sim(char a, char b) {
	if (a == b)	return 5;
	if ((a == 'A' && b == 'C') || (a == 'C' && b == 'A')) return -1;
	if ((a == 'A' && b == 'T') || (a == 'T' && b == 'A')) return -1;
	if ((a == 'A' && b == 'G') || (a == 'G' && b == 'A')) return -2;
	if ((a == 'C' && b == 'G') || (a == 'G' && b == 'C')) return -3;
	if ((a == 'C' && b == 'T') || (a == 'T' && b == 'C')) return -2;
	if ((a == 'T' && b == 'G') || (a == 'G' && b == 'T')) return -2;
	if (a == 'A' && b == '0') return -3;
	if (a == 'C' && b == '0') return -4;
	if (a == 'G' && b == '0') return -2;
	if (a == 'T' && b == '0') return -1;
	return -100;
}
 
int main()
{
	cin >> n >> a >> m >> b;
	//优先处理边界问题
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		f[i][0] = f[i - 1][0] + sim(a[i - 1], '0');
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		f[0][i] = f[0][i - 1] + sim(b[i - 1], '0');
	//状态转移方程
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			f[i][j] = max({ f[i - 1][j - 1] + sim(a[i - 1], b[j - 1]), f[i - 1][j] + sim(a[i - 1], '0'), f[i][j - 1] + sim(b[j - 1], '0') });
	cout << f[n][m];
}

蒟蒻有(fei)话说：非常贴近实际的一道题，虽然当场没能出（该打）但是看到还是忍俊不禁了
当时第一反应想到的是一些字符串匹配问题，完全没往dp那方面想，题做的实在太少了
碎碎念：现在对于科研相关的一些有限的理解感觉就是，如何用有限的数据把黑的吹成白的……