Acwing 840. 模拟散列表

题面：
维护一个集合，支持如下几种操作：

1. I x，插入一个整数 $x$；
2. Q x，询问整数 $x$ 是否在集合中出现过

现在要进行 $N$ 次操作，对于每个询问操作输出对应的结果。

原题链接：840. 模拟散列表 - AcWing题库

哈希表^[1]

基本概念

哈希表也叫散列表，通过将键映射到索引位置（在关键字和位置之间建立对应关系）来实现高效的查找操作。
记作 $Loc(i)=Hash(ke{y}_i)$ 。

时间复杂度：$O(1)$
无论哈希表中有多少条数据，其插入和查找操作的时间复杂度都恒定。
因为哈希表的查找速度非常快，所以在很多程序中都有使用哈希表，例如拼音检查器。

基本思想：转换思想，通过哈希函数将非int的键或者关键字转换成int数组下标。
注意：并不是每个元素都需要通过哈希函数来将其转换成数组下标，有些可以直接作为数组的下标。

缺点：基于数组，空间效率较低，扩容成本较高；
当哈希表被填满时，会造成比较严重的性能下降。

索引存储和散列存储的区别：散列存储多了 $hash$ 函数运算的过程，用于节省空间。

举例：用哈希表来存放班级里面学生信息
利用学号作为关键字时，因为数据类型为int，可以同时作为数据下标，不需要通过哈希函数进行转化；
但如果需要将姓名作为关键字，就需要哈希函数完成键值的重映射。

常见的哈希函数^[2]

构造准则：简单、均匀、冲突最小
构造哈希函数的目标是使得到的 $n$ 个元素的哈希地址尽可能均匀地分布在 $m$ 个连续内存单元地址上，同时使计算过程尽可能简单以达到尽可能高的时间效率^[3]。

1. 线性定址法

直接取关键字的某个线性函数作为存储地址：$Hash(key)=a\times key+b$
其中 $a$ 和 $b$ 为常数，这种哈希函数叫做自身函数。当 $a=1$，$b=0$ 时，$H(key)=key$

优点：直接定址所得地址集合和关键字集合的大小相同；对于不同的关键字不会产生冲突。
缺点：空间效率低，占用连续地址空间，需要提前确定关键字的取值范围，且不能太大。

举例：有一个从1岁到100岁的人口统计表，其中，年龄作为关键字，哈希函数取其自身，即哈希函数为 $H(key)=key$。这样，若要询问25岁的人有多少，则只要查表中地址为25的桶即可。

2. 除留余数法

将关键字对某一小于散列表长度的数 $p$ ($p<a.length$) 取余的结果作为存储地址：$Hash(key)=key\mathrm{\%}p$
最简单，也最常用。不仅可以对关键字直接取模，也可在对关键字进行折迭、平方取中等运算之后取模。
对 $p$ 的选择很重要，一般情况下选 $p$ 为质数或不包含小于 $20$ 的质因素的合数。

3. 数字分析法

取某关键字的某几位组合成哈希地址。
假设已经知道哈希表中所有的关键字值，而且关键字值都是数字；
所选的位应当是：各种符号在该位上出现的频率大致相同。

举例：有1000个记录，关键字为10位十进制整数$x_1、x_2\dots x_{10}$，如哈希表长度为2000。
假设经过分析，各关键字中 $x_3$、$x_5$ 和 $x_7$ 的取值分布近似随机，则可取哈希函数为：$h(key)=h(x_1、x_2\dots x_{10})=x_3{x}_5{x}_7$。
例如，$h(3778597189)=757$，$h(9166372560)=632$。

4. 平方取中法

对关键字取平方，然后将得到结果的中间几位作为存储地址；
当无法确定关键字中哪几位分布较均匀时，先求出关键字的平方值，然后按需要取平方值的中间几位作为哈希地址。

特点：通过平方扩大差别，另外，中间几位与关键字中的每一位都相关，故不同关键字会以较高的概率产生不同的、均匀的哈希地址。

5. 折叠法

将关键字自左到右分成位数相等的几部分，最后一部分可以短些；
然后将这几部分叠加求和，并按哈希表表长，取后几位作为哈希地址。
适用于：每一位上各符号出现概率大致相同的情况。

举例：根据国际标准图书编号（ISBN）建立一个哈希表。
如一个国际标准图书编号 $0-442-20586-4$ 的哈希地址为：

• 移位法：将各部分的最后一位对齐相加；
  使用移位叠加 $5864+4220+04=10088$，故$H(0-442-20586-4)=0088$（将分割后的每一部分的最低位对齐）。
• 间界叠加法：从一端向另一端沿分割界来回折叠后,最后一位对齐相加。
  使用边界叠加法叠加 $5864+0224+04=6092$，故$H(0-442-20586-4)=6092$（从一端向另一端沿分割界来回叠加）。

6. 随机数法

取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即 $H(key)=random(key)$，
其中 $random$ 为伪随机函数。
适用于：关键字长度不等

哈希冲突与处理方法

哈希冲突：元素关键字不同，但具有相同哈希地址，键值不再一一对应。
一般来说，哈希冲突很难避免。为了解决这个问题，需要找到新的尚未被占用的地址来存储该元素。

拉链法

将所有的冲突元素用单链表连接起来，每个链表对应一个单元；
此时，每个单元存储的不再是元素本身，而是相应单链表的头指针。
思路类似于：邻接表

基于取模法的哈希函数：(x % N + N) % N
通常情况下，我们希望哈希函数的输出值处于 $[0,N-1]$ 的范围内，其中 $N$ 是哈希表的大小。
而转换前的键值范围例如 $[{10}^{-9},{10}^9]$，可能存在负数。
为了解决这个问题，可以利用取模运算的性质：如果 $a$ 和 $b$ 都是整数，且 $a$ 除以 $b$ 得到的商为 $q$，余数为 $r$，则有 $a=q\ast b+r$。根据这个性质，我们可以将负数的取模运算转化为一个正数的取模运算。

单链表的建立：AcWing 826. 单链表 - 蒟蒻爬行中
此处插入操作选用头插法，链表头指针即存储在哈希表中。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 100003;  //从100000开始的第一个素数
int n, x;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
 
/* 构建哈希函数：取模法 */
int hashF(int x) {
	return (x % N + N) % N;	//索引值
}
 
/* 拉链法的插入操作 */
void insert(int x) {
	int k = hashF(x);
	e[idx] = x;	//数据数组
	ne[idx] = h[k];	//指针数组
	h[k] = idx++;	//哈希数组
}
 
/* 拉链法的查找操作 */
bool find(int x) {
	int k = hashF(x);
	//先找到索引值，再从该单元链表头开始查找
	for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
		if (e[i] == x)
			return true;
	return false;
}
 
int main()
{
	cin >> n;
	memset(h, -1, sizeof h);  //空指针一般用-1表示
	while (n--) {
		char op;
		cin >> op >> x;
		if (op == 'I')	insert(x);
		else cout << (find(x) ? "Yes\n" : "No\n");
	}
}

开放寻址法

当发生哈希冲突时，则开始寻找，直到得到一个新空闲地址，再插入该元素。

寻找新地址的过程也成为再哈希，一般采用线性探测法或者平方探测法。
线性探测法：从发生冲突的地址开始，依次探测下一个地址，直到找到一个空闲单元为止。

和拉链法的区别：

1. 只利用一个一维数组，形式更为简单；
2. 数组的长度更长，一般为输入数据量的2~3倍。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 200003;  //从200000开始的第一个素数
const int null = 0x3f3f3f3f;  //大于10e9的数
int n, x, h[N];
 
/* 构建哈希函数：取模法 */
int hashF(int x) {
	return (x % N + N) % N;	//索引值
}
 
/* 开放寻址法的相关操作 */
//查找：若可以寻找到k，k就是x的位置
//插入：若不能寻找到k，k就是x应该存储的位置
int find(int x) {
	int k = hashF(x);
	//若单元中已有元素且不为x，开始寻址
	while (h[k] != null && h[k] != x) {
		k++;
		//若已经遍历完所有单元，则回到表首地址
		if (k == N)	k = 0;
	}
	//否则直接返回k单元
	return k;
}
 
int main()
{
	cin >> n;
	memset(h, 0x3f, sizeof h);
	while (n--) {
		char op;
		cin >> op >> x;
		int k = find(x);
		if (op == 'I')	h[k] = x;
		else cout << (h[k] != null ? "Yes\n" : "No\n");
	}
}

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1. 一文看懂哈希表并学会使用C++ STL 中的哈希表_哈希表end函数-CSDN博客 ↩︎

2. 哈希函数的常用构造方法 - 楼兰胡杨 - 博客园 (cnblogs.com) ↩︎

3. 一文快速入门哈希表-CSDN博客 ↩︎