AcWing 149. 荷马史诗

题面：
一部《荷马史诗》中有 $n$ 种不同的单词，从 $1$ 到 $n$ 进行编号。其中第 $i$ 种单词出现的总次数为 $w_i$。用 $k$ 进制串 $s_i$ 来替换第 $i$ 种单词，使得其满足如下要求：

1. 对于任意的 $1\le i,j\le n$，$i\ne j$，都有：$s_i$ 不是 $s_j$ 的前缀。
2. 替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。
3. 在确保总长度最小的情况下，求出最长的 $s_i$ 的最短长度。

原题链接：AcWing 149. 荷马史诗
参考链接：
AcWing 149. 荷马史诗(二叉堆 Huffman树 贪心) - Bug-Free
AcWing 149. 荷马史诗 - 秦淮岸灯火阑珊

本题面对的两个问题：

1. 最小权值和
2. 最小化深度

最小权值和

• $k$ 进制编码的情况下，使用的不再是二叉哈夫曼树，而是 $k$ 叉堆。
• $k$ 叉堆会存在的问题：只能形成完全 $k$ 叉堆的特殊情况
  • 形成满 $k$ 叉堆的条件：
    $n-m(k-1)=1$
    ⇒ $n-1=m(k-1)$
    ⇒ $n-1$ 为 $k-1$ 的倍数
    ⇒ $(n-1)\mathrm{\%}(k-1)=0$
  • 解决方法：
    • 法一：特殊处理首次合并，首次合并为 $n-m(k-1)$ 堆，剩下合并为 $k$ 堆。
    • 法二：为最后一层补满空结点，以让其余结点权值和最小化。

最小化深度

• 在建树时，新节点优先成为深度较小的结点的孩子。
• 如果多个点的权值相同时，优先考虑高度较低（已合并次数最少）的树。
  • Q：为什么代码中使用 max(u, h.top().second) 而不是 min？
    A：因为建树的过程是从下往上的。

拓展：Huffman树与Trie树

常见应用场景

深度与权重：Huffman树
求公共前缀：Trie树

本题为何适用

本题中要求对于任意的 $1\le i,j\le n$，$i\ne j$，都有 $s_i$ 不是 $s_j$ 的前缀。
应用Trie树：叶子结点上的字母必然互不相同；
应用Huffman树：每层至多产生一个父结点。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<LL, int> PLI;
const int N = 1e5 + 10;
 
int n, k;
LL x;
 
priority_queue<PLI, vector<PLI>, greater<PLI>> h;
 
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x;
        h.push({ x,0 });
    }
    while ((n - 1) % (k - 1)) {
        h.push({ 0,0 });    //加入空结点
        n++;    //更新结点数
    }
    LL res = 0;
    while (h.size() > 1) {
        LL sum = 0;
        int u = 0;  //新节点的高度
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            sum += h.top().first;   //该层的所有结点权值和
            u = max(u, h.top().second); //同权值时优先深度最小
            h.pop();
        }
        res += sum;
        h.push({ sum,u + 1 });
    }
    cout << res << endl;
    cout << h.top().second;
}