AcWing 839. 模拟堆

题解：
维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：
①I x，插入一个数 $x$；
②PM，输出当前集合中的最小值；
③DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
④D k，删除第 $k$ 个插入的数；
⑤C k x，修改第 $k$ 个插入的数，将其变为 $x$；
现在要进行 $N$ 次操作，对于所有第 $2$ 个操作，输出当前集合的最小值。

原题链接：839. 模拟堆 - AcWing

堆是一种特殊的完全二叉树

优先级队列（小根堆的模拟实现）未央.303的博客-CSDN

小根堆的性质：每个结点的值都小于其左孩子和右孩子结点的值。（大根堆反之）

结点h[x]的左孩子为h[x * 2]，右孩子为h[x * 2 + 1]。

小根堆的两种基本操作（递归）：

1. 上升 up()：只要当前结点小于其父节点，则将其与父节点交换；
2. 下降 down()：只要当前结点大于其孩子结点，则将其与孩子节点中的较小值交换；

堆的五种基本操作：

1. 插入一个数：heap[++size]=x; up(size);
   在末尾插入，随后让其上升到合适的位置。
2. 求集合中的最小值：heap[1];
   根节点一定为最小值。
3. 删除最小值：heap[1]=heap[size]; size--; down(1);
   数组的性质：删除第一个结点难，而删除最后一个结点易。
   令最后一个结点直接覆盖最小的根节点，比起直接删除第一个结点更方便。
4. 删除任意一个元素：heap[k]=heap[size]; size--; down(k); up(k);
   当删除堆中间的元素时，不能确定该节点和其父节点、左右孩子结点的关系；
   故同时执行down(k); up(k);操作，实际上只有其中一者会被执行。
5. 修改任意一个元素：heap[k]=x; down(k); up(k);

关键点：h hp ph 之间的映射关系

• ph[k]=u：第 $k$ 个点的下标为 $u$
• hp[u]=k：节点 $u$ 是第 $k$ 个插入的
• 若hp[u]=k，则ph[k]=u

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 1e5 + 10;
int n, cnt, siz;
int h[N];   //堆
int ph[N];  //ph[k]=u: 第k个点的下标为u
int hp[N];  //hp[u]=k: 节点u是第k个插入的
 
//映射关系：若hp[u]=k，则ph[k]=u
void heap_swap(int u, int v) {
    swap(h[u], h[v]);
    swap(hp[u], hp[v]);
    swap(ph[hp[u]], ph[hp[v]]);
 
}
 
void down(int u) {
	int tmp = u;
	//左孩子存在，且左孩子小于当前节点
	if (u * 2 <= len && h[u * 2] < h[tmp])
		tmp = u * 2;
	//右孩子存在，且右孩子小于当前节点和左孩子
	if (u * 2 + 1 <= len && h[u * 2 + 1] < h[tmp])
		tmp = u * 2 + 1;
	if (u != tmp) {	//根节点不是当前最小值
		swap(h[u], h[tmp]);
		down(tmp);	//递归
	}
}
 
void up(int u) {
    if (u / 2 > 0 && h[u / 2] > h[u]) {
        heap_swap(u, u / 2);
        up(u / 2);
    }
}
 
int main()
{
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        string op;
        int k, x;
        cin >> op;
        if (op == "I") {
            cin >> x;
            h[++siz] = x;   //插入队尾
            cnt++;          //更新是第k个插入的数
            ph[cnt] = siz;  //记录第k个插入的数的下标
            hp[siz] = cnt;  //记录该点是第k个插入的
            up(siz);
        }
        else if (op == "PM") {
            cout << h[1] << endl;
        }
        else if (op == "DM") {
            heap_swap(1, siz--);
            down(1);
        }
        else if (op == "D") {
            cin >> k;
            int tmp = ph[k];
            heap_swap(tmp, siz--);
            up(tmp);
            down(tmp);
        }
        else if (op == "C"){
            cin >> k >> x;
            h[ph[k]] = x;
            down(ph[k]);
            up(ph[k]);
        }
    }
    return 0;
}