AcWing 5. 多重背包问题 II

题面：
有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。
第 $i$ 件物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

原题链接：5. 多重背包问题 II - AcWing

先前的思路^[1]：将 $s$ 个物品分成 $s$ 份

由此转换为 $s$ 个 01背包问题，例如 7 就可以拆解为 1 1 1 1 1 1 1。

二进制优化思路：将 $s$ 个物品分成 $log(s)$ 份

$2^0+2^1+2^2=1+2+4=7$
实际上，就像每一个小于等于 7 的数都可以通过 1 2 4 这三个数字组合出来一样，
最少需要 $ceil({\log }_{2}s)$ 个数，就可以组合出 $0\sim s$ 之间的所有数。

对于 $s$ 不属于 $2^n-1$ 的情况，将 $s-\sum _{i=0}^{[{\log }_{2}s]}{2}^i$ 作为第 $ceil({\log }_{2}s)$ 个数即可。
例如，对于 $10$，就可以拆解为1 2 4 3。既然每一个 $0\sim 7$ 之间的数都可以通过 1 2 4 组合出来，那么它们加上 $3$ 就可以表示 $0\sim 10$ 之间的数。

时间复杂度：$O(n^3)$ → $O(n^{2}logn)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 2010;
int n, m, f[N];
 
struct good {
	int v, w;
};
 
int main()
{
	vector<good> goods;
	cin >> n >> m;
	//拆堆
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int v, w, s;
		cin >> v >> w >> s;
		for (int j = 1; j <= s; j *= 2) {
			s -= j;
			goods.push_back({ v * j, w * j });
		}
		if (s > 0)	goods.push_back({ v * s, w * s });
	}
	//01板子
	for (auto g : goods)
		for (int j = m; j >= g.v; j--)
			f[j] = max(f[j], f[j - g.v] + g.w);
	cout << f[m];
}

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1. https://www.acwing.com/activity/content/code/content/7361624/) ↩︎