AcWing 3. 完全背包问题

题面：
有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

原题链接：3. 完全背包问题 - AcWing

根据01背包的思路扩展到完全背包：

1. 01背包：建立集合，对于第 $i$ 种物品来说，有 选/不选 两种选择；
2. 完全背包：建立集合，对于第 $i$ 种物品来说，有 选0件（不选）/选1件/选2件/……/选k件/……
   共 $v/v[i]+1$ 种选择。

• 完全背包-状态转移方程：$F(i,j)=max(F(i-1,j),F(i,j-v)+w);$
• 推导过程：
  • 01背包-状态转移方程：$F(i,j)=max(F(i-1,j),F(i-1,j-Vi)+Wi)$ $j\ge Vi$；
  • 完全背包-朴素方程：$F(i,j)=max(F(i-1,j),F(i-1,j-Vi)+Wi,F(i-1,j-2\times Vi)+2\times Wi...)$ $j\ge Vi$；
  • 等价变形：$F(i,j-v_i)=max(F(i-1,j-v_i),F(i-1,2\times j-Vi)+Wi,F(i-1,j-3\times Vi)+2\times Wi...)+w$ $j\ge Vi$；

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
 
int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if (j >= v[i])
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << f[n][m];
}

二次优化降维

1. 01背包优化：从大到小枚举体积；
   ①确保在计算 $f[j]$ 时，$f[j-v[i]]$ 已经被更新过：
   ②保证每个物品仅被添加一次。
2. 完全背包优化：从小到大枚举体积；
   因为当背包容积较小时，右侧集合不一定存在。
   与01背包的区别：01背包每样物品只能选择一次，所以状态只能从上一行转移；而完全背包的状态可以从本行转移（即 $dp[i][j-w[i]]$），所以需要正向枚举。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int v[N], w[N], f[N];
 
int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	    for (int j = v[i]; j <= m; j++)
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
	cout << f[m];
}