网络流24题选讲

前言

CSP2021 T4 一个显然的最小割的60分做法没有看出来，特此来补一补网络流。

餐巾计划问题

题意

餐馆在第 \(i\) 天需要 \(a_i\) 块餐巾，购买餐巾需要 \(p\) 元，可以送去慢洗店，\(t_1\) 天之后拿到，洗一条的代价为 \(f_1\)。可以送去快洗店，\(t_2\) 天之后拿到，洗一条的代价为 \(f_2\)（\(t_1\ge t_2\) 且 \(f_1\le f_2\)）。

数据范围：\(n\le 2000\)

solution

考虑费用流，一个简单的想法是每个点直接连向 \(t_1\) 天后和 \(t_2\) 天后，但是因为必须钦定每天都有 \(a_i\) 块餐巾，这样建图不好满足这个限制。

考虑拆点，源点连 \(a\) 点，代价为 \(p\)，流量为 \(\infin\) ，表示买餐巾；源点 \(b\) 点源点，代价为 \(0\) ，流量为 \(a_i\) ，表示获得餐巾。 \(b\) 点连汇点，代价为 \(0\)，流量为 \(a_i\)，表示钦定使用了 \(a_i\) 条餐巾。 \(b\) 点连 \(t_1\) 天后和 \(t_2\) 天后的 \(a\) 点，表示洗毛巾，注意这里的连边表示必须在 \(x\) 天后使用，因此，我们需要把不用洗的餐巾留下，也就是 \(b\) 连向下一天的 \(b\)。

加强版 [BJWC2018]餐巾计划问题

数据范围：\(n\le 2\times 10^5\)

容易发现这个答案和购买的餐巾数量是一个单峰函数的关系。考虑三分购买的餐巾数量，现在只需要考虑在餐巾数量确定时，需要的最小代价。

首先餐巾一定是越靠前买越好，因为后面送洗的时间更加充裕。贪心地，我们肯定是能慢洗则慢洗，而慢洗不了的时候，只能选择快洗。显然优先选择时间更近的来快洗，因为时间更远的可以留来慢洗。

使用两个 deque 维护，单次复杂度 \(O(n)\)，总时间复杂度 \(O(n\log n)\)

[CTSC1999]家园 / 星际转移问题

题意

（见原题面）

solution

枚举时间，根据时间建分层图，每多建一层跑一次 dinic，无解用并查集判断。

飞行员配对方案问题&试题库问题

二分图匹配模板题

最小路径覆盖问题

题意

DAG 的最小路径覆盖（无重复点）

数据范围：\(n\le 150,m\le 6000\)

solution

拆点，原图的边在网络流里是出点连入点。同时每个点最多作为出点 \(1\) 次，作为入点 \(1\) 次。一个匹配相当于是把两条链合并到一起，所以答案是 点数\(-\)最大匹配。

DAG的可相交最小路径覆盖

即不用考虑中间点。Floyd 求出一个点能够到哪些点，能到的点都连边。然后就变成了不可相交的最小路径覆盖。

魔术球问题

题意

（见原题面）

solution

加起来为平方数的点连边，然后就是最小路径覆盖问题了

航空路线问题

问题转化为找两条路线。拆点，其中 \(1\) 号点和 \(n\) 号点的流量为 \(2\)，其余点的流量为 \(1\)，完了。

太空飞行计划问题

答案是 \(sum-\)最小割。构造方案的话需要先判断哪些仪器是要买的（和 \(S\) 连通），然后根据买的仪器来确定做哪些实验。

骑士共存问题

将棋盘 \(2\) 染色，颜色不同的格子不能相互攻击。 能够到达的点连边，答案就是二分图最大独立集。

最长k可重区间集问题

题意

\(n\) 个开区间，一个区间的贡献是 \(r-l\)，选择任意多个区间，数轴上任意一个点不能被覆盖超过 \(k\) 次，求最大贡献和。

数据范围：\(n\le 500\)

solution

端点离散化，先建一个数轴，流量为 \(k\)，每一个区间相当于从数轴上分出一条流量为 \(1\) 的边。最大费用最大流即可。

最长k可重线段集问题

把开区间换成平面直角坐标系内的开线段，要求任意一条 \(x=i\) 的直线最多与 \(k\) 个线段相交，区间的代价是线段长度向下取整。

如果不存在平行于 \(y\) 轴的直线的话，可以直接转化为上面的问题。平行于 \(y\) 轴的直线带来的问题是：

1. 这个点最多有 \(k\) 个线段经过
2. 因为是开区间，要把端点是 \(x\) 的不平行于 \(y\) 轴的线段与端点是 \(x\) 的平行于 \(y\) 轴的线段区分出来

考虑扩域，把一个平行于 \(y\) 轴的直线变为 \((x\times 2,x\times 2+1)\)，剩下的变为\((x_0\times 2+1,x_1\times 2)\)。这样就解决了上面带来的问题。

汽车加油行驶问题

按照油量建分层图，跑最短路即可。

负载平衡问题

题意

环形序列 \(a_i\)，一次操作可以使 \(a_i-1\) 并使 \(a_{i+1}+1\) 或 \(a_i+1\) 并使 \(a_{i+1}-1\)。求最小操作次数使得所有 \(a_i\) 相等。

数据范围：\(n\le 100\)

solution

源点连需要减少的点，需要增加的点连汇点，相邻之间连边即可。跑费用流。

加强版

\(n\le 10^6\)

设平均值为 \(x​\)。设 \(a_i​\) 给 \(a_{i-1}​\) 了 \(b_i​\)（如果 \(b_i​\) 为负表示 \(a_{i-1}​\) 给 \(a_i​\)）。那么可以列出方程

\[\begin{cases} a_1-b_1+b_2=x\\ a_2-b_2+b_3=x\\ \cdots\\ a_n-b_n+b_1=x \end{cases} \]

可得

\[b_2=b_1+x-a_1\\ b_3=b_2+x-a_2=b_1+x-a_1+x-a_2\\ \cdots \]

令 \(b_1\) 后面的东西为 \(c_i\)，那么 \(b_2=b_1-c_1,b_3=b_1-c_2\)。

\[c_1=a_1-x\\ c_2=a_1-x+a_2-x\\ c_p=\sum_{i=1}^p a_i-xp\\ c_n=0 \]

我们需要最小化 \(\sum_{i=1}^n|b_1-c_i|\)，显然 \(b_1\) 取中位数最优。时间复杂度 \(O(n)\)。