决策单调性优化DP

决策单调性

决策单调性，顾名思义就是决策点具有一定的单调性，使得我们在转移的过程中不需要遍历全部的情况，而只需要在一段满足单调性的区间内寻找我们想要的最优解

有的题目甚至不算是DP题，但是也有决策单调性的性质，也归到这一类

由于博主太菜，这里面很多结论不会给出详细的证明，可能只会给出感性理解的记忆方式

建议的阅读顺序是：

• 记住区间包含单调性，四边形不等式的定义
• 学习决策单调性优化DP在区间类（2D1D）和1D1D DP 中的应用
• 在看例题的同时留意四边形不等式的一些证明

四边形不等式

定义

• 区间包含单调性：

$$\forall\ l\le l'\le r'\le r,\ w(l',r')\le w(l,r)$$

常见的满足区间包含单调性的有：$w(l,r)=r-l​$，前缀和等

• 四边形不等式（交叉小于包含）：

$$\forall\ l_1\le l_2\le r_1\le r_2,\ w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\le w(l_1,r_2)+w(l_2,r_1)$$

特别的，如果等号恒成立，称$w$满足四边形恒等式

常见的满足四边形不等式的有：$w(l,r)=(r-l)^2$，证明如下：设$a\le b\le c\le d$

$$\begin{aligned} &\ \ \ \ \ (c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\\ &\le a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd-2a(d-c)+2b(d-c)\\ &=a^2+b^2+c^2+d^2-2ad-2bc\\ &=(d-a)^2+(c-b)^2 \end{aligned}$$

常见的满足四边形恒等式的有：$w(l,r)=r-l$

如果已知$w(l,r-1)+w(l+1,r)\le w(l,r)+w(l+1,r-1)$，那么可以归纳证明其满足四边形不等式

一些性质

这些性质常用来证明区间包含单调性和四边形不等式，打表观察DP状态或者$w$函数是否满足这个关系也是实用手段（尤其是当你不知道该怎么优化DP的时候可以猜一手）

性质1

• 若函数$w_1(l,r),w_2(l,r)$均满足四边形不等式/区间包含单调性，则对于任意 $c_1,c_2\ge 0$，函数 $c_1w_1+c_2w_2$ 也满足四边形不等式/区间包含单调性。

性质2

• 若函数$w(l,r)=f(r)-g(l)$，则函数 $w$ 满足四边形恒等式。当函数 $f,g$ 单调增加时，函数$w$ 还满足区间包含单调性。

性质3

• 设$h(x)$ 是一个单调增加的凸函数，若函数$w(l,r)$满足四边形不等式和区间包含单调性，则复合函数 $h(w(l,r))​$ 也满足四边形不等式和区间包含单调性。

性质4

• 设$h(x)$ 是一个凸函数，若函数$w(l,r)$满足四边形不等式和区间包含单调性，则复合函数 $h(w(l,r))$ 也满足四边形不等式。

以上性质会在例题的证明中被提到

决策单调性优化DP

决策单调性能够优化的DP主要有以下两类：

区间类（2D1D）动态规划

（2D1D指状数$O(n^2)$，转移有$O(n)$中情况）

形如：

$$f\ [l,r]\gets \min\limits_{l\le k<r}\{f\ [l,k]+f\ [k+1,r]\}+w(l,r)$$

引理：若$w(l,r)$满足区间包含单调性和四边形不等式，则状态$f[l,r]​$满足四边形不等式

定理：记$g[l,r]$为$f[l,r]$的最小的 最优决策点，那么

$$g[l,r-1]\le g[l,r]\le g[l+1,r]$$

也就是说，我们在区间类DP的时候顺便记录下转移点，对于当前状态$f[l,r]$，我们可以确定它的可能的最优解一定在$[\ g[l,r-1], g[l+1,r]\ ]$这个区间内，对决策点的总枚举两降到$O(n^2)$

for (int len = 2; len <= n; ++len)  // 枚举区间长度
  for (int l = 1, r = len; r <= n; ++l, ++r) {
    // 枚举长度为len的所有区间
    f[l][r] = INF;
    for (int k = g[l][r - 1]; k <= g[l + 1][r]; ++k)
      if (f[l][r] > f[l][k] + f[k + 1][r] + w(l, r)) {
        f[l][r] = f[l][k] + f[k + 1][r] + w(l, r);  // 更新状态值
        g[l][r] = k;  // 更新（最小）最优决策点
      }
  }

例题

• HDU3480 Division，四边形不等式的证明见上
• P4767 [IOI2000]邮局，$w(l,r)$在$[l,r]$之间建一个邮局的最小距离，显然取中位数最优，可以证明其满足四边形不等式（我不会证）

1D1D 动态规划

形如：

$$f[i]\gets \min\limits_{j=1}^{i-1}\{f[j]+w(j,i)\}$$

定理：若$w(l,r)$满足四边形不等式，记$g[i]$表示$i$的最小最优决策点，那么

$$\forall r_1\le r_2,g[r_1]\le g[r_2]$$

另一种形式（严格弱化版）

形如：

$$f[i]=\min\limits_{j=1}^{i-1}\{w(j,i)\}$$

因为决策单调性只限制了下界，并没有限制上界，所以复杂度依然是$O(n^2)$的。

所以我们要想办法限制上界

考虑暴力$O(n)$找出中点$mid$的最优转移点，那么对于$[l,mid-1]$的点，我们有了一个上界，对于$[mid+1,r]$的点，我们有了新的下界

这是一个分治问题，递归下去处理即可

例题：

• loj6039. 「雅礼集训 2017 Day5」珠宝

• loj2157. 「POI2011 R1」避雷针 Lightning Conductor

以Lightning Conductor为例使用四边形不等式相关性质证明四边形不等式

对于所有的$p_i$，求$\max\limits_{j=1}^n\{a_j+\sqrt{|i-j|}\}-a_i$

首先将绝对值去掉，变成$\max(\max\limits_{j=1}^i\{a_j+\sqrt{i-j}\},\max\limits_{j=i+1}^n\{a_j+\sqrt{j-i}\})-a_i$，两部分处理方式完全一致，直接reverse之后再做一遍即可

把所有数取反，把$\max$变成$\min$，$\min\limits_{j=1}^i\{-a_j-\sqrt{i-j}\}$

由性质4：$w(l,r)=r-l$，满足四边形恒等式和区间包含单调性，$-\sqrt{x}$是凸函数，所以复合函数$w_2(j,i)=-\sqrt{i-j}$满足四边形不等式

由性质1：$w_1(j,i)=-a_j$，满足四边形恒等式，则原函数$=w_1(j,i)+w_2(j,i)$，满足四边形不等式，得证

剩下的就分治即可，时间复杂度$O(n\log n)$

回到原问题

由于决策的单调性，我们可以将$1\sim n$划分成若干区间，表示这个区间内的DP值转移自哪里。

我们可以用单调队列维护。单调队列里的元素记录三个信息：$l,r,p$，表示当前状态下（考虑了前$i$个元素），$p$是区间$[l,r]$内的最优决策点。如果队首的$r<$当前的$i$，弹出无用的队首。插入队尾时，依次和队尾元素比较，如果$f_i\to f_l$比$f_p\to f_l$更优，那么$p$在任何状态下都不会比$i$更优，弹出队尾；否则将一段后缀分成两个部分，分界线用二分的方式找到。

时间复杂度$O(n\log n)$

例题：

• P1912 [NOI2009] 诗人小G

另一种形式

$$f\ [i,j]\gets \min\limits_{k\le j}\{f\ [i-1,k]+w(k+1,j)\}$$

实际上是分层的 1D1D DP。我们有类似的结论

引理：若$w(l,r)$满足区间包含单调性和四边形不等式，则状态$f[l,r]​$满足四边形不等式

定理：记$g[l,r]$为$f[l,r]$的最小的 最优决策点，那么

$$g[l,r-1]\le g[l,r]\le g[l,r+1]$$

感性理解：因为有区间包含单调性，我们把一个区间的贡献拆成多个肯定不会更劣，这样我们得到了下界，同时减少一个元素贡献也不会变劣，得到上界