扩展KMP(Z函数)

用途

\(O(n)\)求一个串与另一个串的每一个后缀的LCP长度

算法过程

其实个人感觉跟KMP关系不大，反倒与Manacher有异曲同工之妙

求解Z函数

定义

s(i,j)：字符串\(S\)的第\(i\)为到第\(j\)位

suf(i)：以 \(i\) 开头的后缀，即\(s(i,n)​\)

z[i]：s(1,n)与\(suf(i)\)的LCP长度，\(z[1]=n\)

r：当前匹配过的最靠右的点

考虑已知\(z[1]\sim z[i-1]\)，求出\(z[i]\)

第一种情况

\(i>r\)，直接从\(0\)开始暴力匹配

第二种情况

当前\(s(l,r)\)对应匹配\(s(1,r-l+1)\)，如图中蓝色部分所示

\(i\)对应的位置是\(i-l+1\)，如果\(z[i-l+1]\)不超过\(r-i+1\)，那么\(z[i-l+1]\)一定是合法的，直接赋值

第三种情况

\(i\)对应的位置是\(i-l+1\)，如果\(z[i-l+1]\)超过\(r-i+1\)，那么\(r-i+1\)以内的一定是合法的，剩下的需要暴力判一判

代码

inline void getz(char *s,int n){
	memset(z+1,0,n<<2);
    z[1]=n;len=n;
	for(int i=2,l=0,r=0;i<=n;++i){
		if(i<=r)z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+z[i]<=n&&s[i+z[i]]==s[z[i]+1])++z[i];
		if(i+z[i]-1>r)l=i,r=i+z[i]-1;
	}
}

求一个串与另一个串的每一个后缀的LCP长度

与求Z函数类似

inline void calc(char *s,char *a,int n,int *ans){
	memset(ans+1,0,n<<2);
	for(int i=1,l=0,r=0;i<=n;++i){
		if(i<=r)ans[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
		while(i+ans[i]<=n&&ans[i]+1<=len&&a[i+ans[i]]==s[ans[i]+1])++ans[i];
		if(i+ans[i]-1>r)l=i,r=i+ans[i]-1;
	}
}

例题

CF1313E Concatenation with intersection

设\(f_i\)表示\(a[i]\)与\(s\)的LCP长度，\(g_i\)表示\(b[i]\)与\(s\)的LCS长度，这两个可以\(O(n)\)使用exKMP求

转化题意为满足以下四个条件的\(f_i+g_j-m+1\)之和

• \(i\le j\)
• \(i+m-1>j\)
• \(f_i>0,g_j>0\)
• \(f_i+g_j\ge m\)

对第二个限制容斥一下，先不考虑第二个限制，减去\(j\ge i+m-1\)的贡献

考虑维护\(g_j\ge \max(1,m-f_i)\)的\(f_i+g_j-m+1\)之和

将\(f_i\)与\(g_j\)拆开，两个树状数组\(T1,T2\)，分别维护\(g_j\ge \max(1,m-f_i)\)的\(g_j\)之和的\(j\)的个数，满足\(g_j\ge \max(1,m-f_i)\)的\(g_j\)之和

贡献为\((f_i-m+1)\times T1+T2​\)

注意到\(a/b\)不能把\(s\)占满，求出的\(LCP/LSP\)要与\(m-1\)取\(\min\)