莫比乌斯反演

数论函数

定义域为正整数、陪域为复数的函数

\(\phi(x)\)，欧拉函数

也写作：\(\varphi(x)\)

含义：小于等于自己的，与自己互质的数的个数

通式：\(\phi(x)=x\prod\limits_{p_i}(1-\dfrac{1}{p_i})\)，其中\(p_i\)为\(x\)的质因数

特殊性质：

\[\sum\limits_{i|n}\phi(i)=n \]

举个栗子证明理解一下：

\(12\)个分数

\[\dfrac{1}{12},\dfrac{2}{12},\dfrac{3}{12},\dfrac{4}{12},\dfrac{5}{12},\dfrac{6}{12},\dfrac{7}{12},\dfrac{8}{12},\dfrac{9}{12},\dfrac{10}{12},\dfrac{11}{12},\dfrac{12}{12} \]

约分一下

\[\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{5}{12},\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{12},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{6},\dfrac{11}{12},\dfrac{1}{1} \]

按分母分个类

\[\{\dfrac{1}{1}\},\{\dfrac{1}{2}\},\{\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\},\{\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\},\{\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{6}\},\{\dfrac{1}{12},\dfrac{5}{12},\dfrac{7}{12},\dfrac{11}{12}\} \]

\[12=\phi(1)+\phi(2)+\phi(3)+\phi(4)+\phi(6)+\phi(12) \]

\(\mu(x)\)，莫比乌斯函数

\[\mu(x)=\begin{cases}1(x=1)\\(-1)^k\ \ (\text{$x$没有平方数因数，且$x$的质因数个数为$k$，即$x=\prod\limits_{p_i\in prime} p_i$})\\0 \ \ (\text{$x$有平方数因数})\end{cases} \]

特殊性质：

\[\sum\limits_{i|n}\mu(i)=[n=1] \]

\(\epsilon(x)\)，元函数

\[\epsilon(x)=[x=1] \]

\(id(x)\)，单位函数

\[id(x)=x \]

\(I(x)\)，恒等函数

\[I(x)=1 \]

也记作\(1(x)=1\)

积性函数

积性函数：对于任意互质的整数\(a\)和\(b\)，都有\(f(ab)=f(a)\cdot f(b)\)的函数\(f\)，\(f(1)=1\)

完全积性函数：对于任意整数\(a\)和\(b\) ，都有\(f(ab)=f(a)\cdot f(b)\)的函数\(f\)

以上提到的所有函数均为积性函数，其中\(\phi,\mu\)为积性函数，\(\epsilon,id,I\)为完全积性函数

利用积性函数的性质，我们可以进行线性筛

狄利克雷卷积

定义两个数论函数的狄利克雷卷积\(\otimes(\ast)\)

若$h=f\ast g $

\[h(n)=\sum\limits_{i|n}f(i)g(\dfrac{n}{i}) \]

一定要记住这个式子

以下性质（看看就好）：

1. 交换律：\(f\ast g=g\ast f\)
2. 结合律：\(f\ast (g\ast h)=(f\ast g)\ast h\)
3. 分配律：\((f+g)\ast h=f \ast h+g\ast h\)
4. \((xf)\ast g=x(f\ast g)\)
5. \(\epsilon\ast f=f\)

将上述\(\phi\)和\(\mu\)的性质用卷积形式表示，就是

\[\sum\limits_{i|n}\phi(i)=n\iff \phi\ \ast I = id \]

\[\sum\limits_{i|n}\mu(i)=[n=1]\iff \mu\ \ast I=\epsilon \]

莫比乌斯反演

\[g=f\ast I \]

两边同时卷一个\(\mu\)

\[g\ast \mu=f\ast I\ast \mu=f\ast \epsilon=f \]

（这步转化注意使用狄利克雷卷积的性质）

\[g=f\ast I\iff g\ast \mu=f \]

用式子表示，就是

\[g(n)=\sum\limits_{i|n}f(i)\iff f(n)=\sum\limits_{i|n}\mu(\dfrac{n}{i})g(i) \]

这个式子就是莫比乌斯反演

应用

（以下式子可以用莫比乌斯反演推，但是我懒）

求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1] \]

\[\because[\gcd(i,j)=1]=\epsilon(\gcd(i,j))=\sum\limits_{d|\gcd}\mu(d) \]

\[\text{原式}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{d|\gcd}\mu(d) \]

先枚举\(d\)，即\(\gcd\)的因数

\[\text{原式}=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[d|\gcd(i,j)] \]

\[=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}1 \]

\[=\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\mu(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor \]

注意到\(\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\)只有\(\sqrt n\)种取值，整除分块\((O(\sqrt n))\)加上预处理\(\mu(O(n))\)，可以处理多组询问

整除分块

• 在\(i\)到\(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor\)这个范围内，\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)的值是一样的，\(i\)取到\(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor+1\)时，\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)的值会变小

• \(\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\)只有\(\sqrt n\)种取值

利用这个就可以做整除分块了

对于这个式子\(\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\mu(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor\)

在\(i-\min(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{m}{\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor}\right\rfloor)\)的范围内，\(\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{d}\right\rfloor\)的值不变

设 \(r=\min(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{m}{\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor}\right\rfloor)\)

那么这一段内的和就是\(\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{d}\right\rfloor\cdot \sum\limits_{j=i}^{r}\mu(j)\)

对\(\mu\)求一下前缀和，即可\(O(1)\)算出\(i-r\)的和

inline long long solve(int n,int m){
	long long ans=0;
	for(int i=1,r;i<=min(n,m);i=r+1){
		r=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=1ll*(n/i)*(m/i)*(musum[r]-musum[i-1]);
	}
	return ans;
}