置换笔记

置换

以前学过置换，但是由于当时太菜没有弄懂，只能从头来过

希望这次能懂qaq

圈

讨论 \(1\) 至 \(n\) 的一个置换 \(a_1,a_2,...,a_n\)，表示 1 被放到 \(a_1\)，\(2\) 被放到 \(a_2\) 处等

书写格式：
\(\begin{pmatrix}1&2&...&n\\a_1&a_2&...&a_n\end{pmatrix}\)
如果 \(p_1\) 和 \(p_2\) 都是置换，我们可以把乘积 \(P_1P_2\) 定义为一种重排

比如：

\[P_1=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\end{pmatrix} 和~ P_2=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&2&1\end{pmatrix} \]

\[P_1P_2=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix} \]

置换的性质：

显然，两个置换的乘积还是置换

对于多次置换，满足结合律，即 \(a(bc)=(ab)c\)

设 \(I=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}\)
显然 \(pI=p,Ip=p\) 均成立

设置换 \(p = \begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}\)
构造逆置换 \(p^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}\)
容易发现 \(p(p^{-1})=I,(p^{-1})p=I\)

但是置换的乘法不满足交换律，比如

\[P_1=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix} P_2=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix} \]

\[P_1P_2=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix} \]

\[P_2P_1=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}\]

对于一个对象的集合 \(G\),如满足一下 \(4\) 个性质:

1. 封闭性
2. 满足结合律
3. 单位元
4. 可逆

那么这样的集合被称作群。

例如整数的商就是一个群。

定理1 数目 \(1,2,...,n\) 的置换构成一个群。

这个群记做 \(S_n\)，被称为 \(n\) 阶对称群，它恰好有 \(n\) 个不同的元素

这种两行的记号掩盖了置换具有的潜在结构，我们引用置换的另一种圈符号

例如

\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&2&1\end{pmatrix}\)

是圈 \(\begin{pmatrix}1&3&2&4\end{pmatrix}\), 长度为 \(4\)

\(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}\)

是圈 \(\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\), 在此 \(4\) 是不动的