P1384 幸运数与排列 题解
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先看题。
0x00 思路
「一个数是幸运数当且仅当这个数仅由 \(4\) 和 \(7\) 构成，比如 \(47\)，\(744\)，\(4747\)。」
「询问在\(1\) 到 \(n\) 的全排列中字典序第 \(k\) 小的排列中，有多少个幸运数在排列中的位置编号也是幸运数。」
我们注意到，在完成对幸运数记数的问题前，我们首先对这个数列有一个逆康拓展开，所以这个问题可以分成两步走。
0x01 \(Step\ 1\)：逆康拓展开
很明显，逆康拓展开就是个板子，所以直接开开森森打代码就好了。
但是，逆康拓展开需要知道 \(n!\)，而数据范围告诉我们：\(1 \leq n,k\le 10^9\)。
！这…… unsigned long long 都存不下啊……高精度？也感觉不对。
现在我们的思路卡住了，所以我们可以碰碰运气，看在 unsigned long long 范围下能逆康拓展开多少个数（骗多少分）。
| \(n\) | 阶乘结果 |
|---|---|
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) |
| \(3\) | \(6\) |
| \(4\) | \(24\) |
| \(5\) | \(120\) |
| \(6\) | \(720\) |
| \(7\) | \(5,040\) |
| \(8\) | \(40,320\) |
| \(9\) | \(362,880\) |
| \(10\) | \(3,628,800\) |
| \(11\) | \(39,916,800\) |
| \(12\) | \(479,001,600\) |
| \(13\) | \(6,227,020,800\) |
诶诶诶停停停，根据数据范围，\(k\) 的取值范围是 \(1\sim 10^9\)，而 \(13!=6,227,020,800>10^9\)，所以我们可以发现 \(k\) 只会影响到数列的后 \(13\) 位，而前面的数都是按序排列！也就是说，我们只需要对最后 \(13\) 位执行全排列操作。
而关于 \(-1\)，只需要判断 \(n!<k\) 是否无解，为了偷懒不搞特殊，可以将 \(n\) 和 \(13\) 取最小值可以少写一个 。if 语句
至此，第一步顺利解决了。
0x02 \(Step\ 2\)：幸运数
既然我们已经发现除开最后 \(13\) 个数，剩余的数按序排列的话，我们就可以把幸运数给预处理出来。那么这个时候，我们就肯定需要开始找规律了。
接着，你会发现只有一位的幸运数有 \(2\) 个，两位数的有 \(4\) 个，三位数的有 \(8\) 个，…，\(n\) 位的幸运数有 \(2^n\) 个。
这个事情解释起来很简单。我们可以把 \(n\) 位拆成前面一位和后 \(n-1\) 位， \(n-1\) 也可以这样操作，而每一位都有两种选择：\(4\) 和 \(7\)，而每一位的选择都会影响到这个数，因此有 \(2^n\) 种可能，之后可进行预处理。
由于整个数列只有后 \(13\) 位会变化，所以前面的不会影响到第 \(k(1\le k \le n)\) 位的最大幸运数的数字总数可以直接相加。
注意！
当 \(10\le n< 20\) 时， 后 \(13\) 位中包括了个位数的幸运数，那么此时我们不可以再直接让答案为 \(2\)，而需要一个个判断（毕竟就 \(2\) 个幸运数）。
当 \(17\le n\) 时，幸运数 \(4\) 不会受影响。
当 \(20\le n\) 时，幸运数 \(7\) 不会受影响，可以分别判断。
但是千万不要忘了 \(n>20\) 的情况已经加过了，千万不要重加！
关于和 \(n\) 位数（有 \(dig\) 位）相同但小于 \(n-13\) 的幸运数，可以直接暴力查找，反正数量最多也就 \(2^9\)。从 \(44\dots4\)（\(dig\) 个 \(4\)）开始。可以根据幸运数特点，只有 \(4\) 和 \(7\)，可以推断出：找到幸运数中的第一个 \(4\)，将其变成 \(7\)，在这一位之前的 \(7\)（即从个位开始连续的所有 \(7\)) 全部改成 \(4\) 。
特别地，\(77\dots7\)（\(dig\) 个 \(7\)）为 \(dig\) 位的最大幸运数。
最后还有被全排列过的 \(13\) 位（至多）需要判断。前面的全排列已经在 \(Step\ 1\) 中得到了，直接判断位置和数值是否均为幸运数即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long val_fac[20],val_pow[10];
long long step_1[20];
void decontor(int n,int p)//逆康拓展开
{
vector<int>mus,ans;
int now=p-1,i;
for(i=1;i<=n;i++)
mus.push_back(i);
for(i=n;i>=1;i--)
{
int l=now/val_fac[i-1];
now=now%val_fac[i-1];
ans.push_back(mus[l]);
mus.erase(mus.begin()+l);
}
for(i=0;i<n;i++)
step_1[i+1]=ans[i];
}
int Digit(int num)//找位数
{
int sum=0;
while(num)
{
num/=10;
sum++;
}
return sum;
}
void change(long long &n)//改成下一个幸运数
{
long long ans=n;
int sum=0;
while(ans%10==7)//即上文说的找法
{
ans/=10;
n-=3*(int)pow(10,sum);
sum++;
}
n+=3*(int)pow(10,sum);
}
bool check(int val)//检查是否满足幸运数的条件
{
while(val)
{
if(val%10!=4&&val%10!=7)
return 0;
val/=10;
}
return 1;
}
int main()
{
int p,i,n;
long long ans=0;
scanf("%d %d",&n,&p);
val_fac[0]=1;
val_pow[0]=1;
for(i=1;i<=15;i++)//逆康拓展开前置
val_fac[i]=val_fac[i-1]*i;
int dig=Digit(n);//求位数
for(i=1;i<=dig;i++)//预处理
val_pow[i]=val_pow[i-1]*2;
if(p>val_fac[min(n,13)])//判断-1
{
printf("-1");
return 0;
}
decontor(min(n,13)/*最多13位,否则就不行了*/,p);
if(n>13)
{
if(n>19)//不会影响到任何低于dig位的幸运数
for(i=1;i<dig;i++)
ans+=val_pow[i];
if(n>16&&n<20)//会影响到7
ans++;
for(i=1;i<=13;i++)//在逆康拓展开中使用的是1~13，需要加回来
step_1[i]=step_1[i]+n-13;
long long now=0,biggest=0;
for(i=1;i<=dig;i++)//找到dig位的幸运数的最小值和最大值
now*=10,now+=4,biggest*=10,biggest+=7;
if(n-13>=biggest)//不会影响到dig位的所有幸运数
ans+=val_pow[dig],now=n-12/*防止进入循环*/;
while(now<=n-13&&now!=biggest)
{
ans++;
change(now);
}
if(now<=n-13&&now==biggest)
ans++;
for(i=1;i<=13;i++)//暴力查找
{
if(check(n+i-13)&&check(step_1[i]))
ans++;
}
}
else
{
if(step_1[4]==4||step_1[4]==7)
ans++;
if(step_1[7]==4||step_1[7]==7)
ans++;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
