图的应用--最小生成树

图的应用--最小生成树

生成树

概念:所有顶点均由边连接在一起.但不存在回路.

一个图可以有许多不同的生成树.

生成树特点:

1. 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同.
2. 生成树是图的极小联通子图,去掉一条边则非联通
3. 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边
4. 在生成树中再加一条边必然形成回路
5. 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的

还有n个顶带n-1条边的图不一定是生成树

无向图的生成树

使用dfs搜索找到的生成树.叫做深度优先生成树

使用bfs搜索找到的生成树,叫做广度优先生成树.

最小生成树的定义

给定一个无向网络,在该网的所有生成树中,使得各边权值之和最小的那颗生成树成为该网的最小生成树,也叫最小代价生成树.

典型用途

构造最小生成树(MST)

在生成树的构造过程中,图中n个顶点分属两个集合:

1. 已落在生成树上的顶点集:U
2. 尚未落在生成树上的顶点集:V-U
3. 接下来则应在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边.

方法1:Prim算法

方法2:Kruskal算法

直接了当的贪心,但是不能形成环.

最小生成树可能不唯一

两种算法的比较

P3366 【模板】最小生成树

使用并查集来构建Kruskal算法

#include <bits/stdc++.h>
#define yes cout<<"YES"<<'\n'
#define no 	cout<<"NO"<<'\n'

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 200008;

struct Node {
	int x, y, v;
} a[N];
int fa[50008], n, m;
bool cmp(Node a, Node b) {//自定义排序按照边权的大小进行排序
	return a.v < b.v;

}
int findset(int x) {//并查集的findset
	if (fa[x] == x) {
		return x;
	}
	int y = findset(fa[x]);
	fa[x] = y; //路径压缩
	return fa[x];
}
void Kruskal() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		fa[i] = i; //并查集初始化
	}
	sort(a + 1, a + m + 1, cmp);//排序
	int ans = 0;//记录答案
	int cnt = n;//现在有几个连通块,初始化的时候有n个
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x = findset(a[i].x);
		int y = findset(a[i].y);
		if (x != y) {//如果a[i].x和a[i].y不在一个集合里面的话
			fa[x] = y;//合并两个集合
			ans += a[i].v;//将边权加入到里面
			cnt--;//连通块的数量减1
		}
		if (cnt == 1) {//如果cnt为1就退出循环
			break;
		}
	}
	if (cnt == 1) {//打印结果
		cout << ans << '\n';
	} else {
		cout << "orz" << '\n';
	}

}
int main () {

	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> a[i].x >> a[i].y >> a[i].v;
	}
	Kruskal();


	return 0;
}

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