以下内容是把这里的结论整理了一下。
矩阵乘法
-
已知C=AB,则:
CT=BTAT
-
已知C=AB,则:
C−1=B−1A−1
分块矩阵
已知A=[A11A12A21A22],则:
A−1=⎡⎢
⎢⎣(A11−A12A−122A21)−1−A−111A12(A22−A21A−111A12)−1−A−122A21(A11−A12A−122A21)−1(A22−A21A−111A12)−1⎤⎥
⎥⎦
向量微分
向量对向量求微分(雅克比矩阵)的定义:
y是一个有m个元素的向量,x是一个有n个元素的向量,则雅克比矩阵定义为:
∂y∂x=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣∂y1∂x1∂y1∂x2⋯∂y1∂xn∂y2∂x1∂y2∂x2⋯∂y2∂xn⋮⋮⋮∂ym∂x1∂ym∂x2⋯∂ym∂xn⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
下列表达式中均有A与x无关。
-
已知y=Ax,则
∂y∂x=A
- 令A=I,还可以知道∂x∂x=I
-
已知y=xTA,则
∂y∂x=AT
-
已知x是z的函数,y=Ax,则:
∂y∂z=A∂x∂z
-
已知y=xTAx,则:
∂y∂x=xT(A+AT)
- 若A对称,则:∂(xTAx)∂x=2xTA
- 结合性质3,还可以知道∂(xTx)∂z=2xT∂x∂z
-
已知x和y是z的函数,则:
∂(yTAx)∂z=xTAT∂y∂z+yTA∂x∂z
矩阵微分
矩阵对标量求微分的定义:
∂A∂α=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣∂a11∂α∂a12∂α⋯∂a1n∂α∂a21∂α∂a22∂α⋯∂a2n∂α⋮⋮⋮∂am1∂α∂am2∂α⋯∂amn∂α⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
已知A是α的函数,则:
∂A−1∂α=−A−1∂A∂αA−1
矩阵求逆
求逆引理:若矩阵R和Q可逆,则对于任意的矩阵P有:
(R+PQPT)−1=R−1−R−1P(Q−1+PTR−1P)−1PTR−1
本文作者:Harold_Lu
本文链接:https://www.cnblogs.com/harold-lu/p/16649582.html
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