读《概率机器人》第1、2章

§1 引入

机器人不确定性的来源
- 环境
- 传感器
- 执行器
- 模型
- 计算误差
机器人范式

§2 状态回环估计

1 概率论基础概念

随机变量及其观测值
概率以及概率密度函数（Probability Density Function, PDF）
- 常见的多维正态分布
  $p(x) = \det(2\pi\Sigma)^{-\frac{1}{2}}\exp{\{-\frac{1}{2}(x-\mu)\Sigma^{-1}(x-\mu)\}}$
  其中 $\Sigma$ 是协方差矩阵，半正定且对称。
联合分布（Joint Distrubution）：记作 $p(x,y)=p(X=x\ \text{and}\ Y=y)$
- 独立： $p(x, y)=p(x)p(y)$
条件概率（Conditional Probability）： $p(x\mid y) = \frac{p(x, y)}{p(y)}$
- 条件独立： $p(x,y\mid z)=p(x\mid z)p(y\mid z)$ ，与独立不能相互推导
全概率定理（Theorem of Total Probability）：即所有情况的概率的和（积分）为1。
贝叶斯准则（Bayes Rule）： $p(x\mid y) = \frac{p(y\mid x)p(x)}{p(y)}$
- $Y$ 当做实际值， $X$ 当做测量值，则 $p(x\mid y)$ 被称为生成式模型（Generative Model），且因为一般 $p(y)$ 与 $x$ 无关，分母一般都写作归一化因子 $\eta$ ，即 $p(x \mid y)=\eta p(y\mid x)p(x)$
期望

$\begin{aligned} &E[X]=\sum_{x} x p(x) \quad \text { (discrete) } \\ &E[X]=\int x p(x) d x \quad \text { (continuous) } \end{aligned}$
方差

$\mathrm{Cov}[X]=E[X-E[X]]^2=E[X^2]-E[X]^2$
熵：随机变量 $X$ 包含的以比特为单位的信息的期望

$H_p(x)=E[-\log_2p(x)]$

2 机器人与环境的交互

状态：本书中以 $x$ 表示，下标表示是某一时刻的状态。
- 概念-完全状态（Complete State）：一组最能够预测未来状态的状态
- 以下是一些最常用的的例子：
  - 机器人姿态：三个空间坐标，三个朝向坐标
  - 执行器的配置：关节角度等
  - 动态状态：执行器的运动情况等
  - 周遭物体的位置及特征
  - 周遭物体的运动
与环境的交互
- 感知：得到的数据用 $z$ 表示，感知可以增加系统对外界的认识。
  - 测量概率（Measurement Probability）： $p(z_t\mid x_t)$
- 控制：得到的数据用 $u$ 表示，控制倾向于减少系统对外界的认识。
  - 状态转移概率（State Transition Probability）： $p(x_t\mid x_{t-1}, u_t)$
- 状态估计（Belief）：机器人根据其感知与控制数据而对状态概率分布做出的估计，记号如下
  
  $\operatorname{bel}(x_t)=p(x_t\mid z_{1:t},u_{1:t})\\ \overline{\operatorname{bel}}(x_t)=p(x_t\mid z_{1:t-1},u_{1:t})$
3 贝叶斯滤波器
贝叶斯滤波器
- 前提
  - $x_t$ 是完全状态
  - 控制量 $u$ 是随机给定的
  那么直觉上讲贝叶斯滤波器给出的估计（belief）是很好的。
- 内容
  
  $\begin{aligned} &\overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right)=\int p\left(x_{t} \mid u_{t}, x_{t-1}\right) \text {bel}\left(x_{t-1}\right) \mathrm d x_{t-1} \\ &\operatorname{bel}\left(x_{t}\right)=\eta p\left(z_{t} \mid x_{t}\right) \overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right) \end{aligned}$
  - 输入： $\operatorname{bel}(x_{t-1}), u_t, z_t$
  - 输出： $\operatorname{bel}(x_t)$
  - 第一步称为预测（prediction）。在 $u$ 随机的条件下，该式等价于 $p(y)=p(y\mid x)p(x)$
  - 第二步称为测量更新（measurement update），是贝叶斯准则的应用。
马尔科夫假设：在当下状态已知的条件下，现在和过去的数据是相互独立的。如果在实际中应用贝叶斯滤波器，则由于以下一些原因，这一假设并不总能成立：
- 未被模型考虑在内的环境变量
- 假设的概率模型与实际概率模型的误差
- 计算时使用的近似方法带来的误差
- 实际过程中的控制量并不随机