自控理论 第05章 根轨迹补偿法

在上一章的方法中，我们可以通过调整根轨迹增益，让极点运动在根轨迹上运动，进而使系统满足一些性能指标。但调整根轨迹增益毕竟只能使极点在根轨迹上运动，无法让极点处于根轨迹之外的点，如果有这方面的要求，就需要额外的补偿来改变根轨迹，以使得根轨迹经过目标极点位置，本章介绍的就是补偿方法的一种。

这一块学的非常非常非常的浅🤷‍♂️

5.1 超前补偿

• 作用

  改善暂态响应。

• 一种超前补偿器

  $$G_c(s)=K_c\alpha\frac{Ts+1}{\alpha Ts+1}=K_c\frac{s+\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{\alpha T}},0<\alpha<1$$

  其中新增的零点$\frac{1}{T}$离虚轴更近，起主要作用。

  • 设计步骤
    • 由性能指标确定闭环传递函数的主导极点
    • 由相角条件确定$G_c(s)$的相角
    • 在保证主导极点起主导作用的条件下，由$G_c(s)$的相角再凭借作图法或经验确定$T$和$\alpha$
    • 由幅值条件确定补偿器的增益
    • 通过仿真检查暂态响应是否达到性能指标

• PD控制器

  形式为$K_p+K_ds$，可以看作是上述超前补偿器在$\alpha=0$时的特例。PD控制器为开环传递函数添加了零点，添加零点会使得根轨迹左移（课上没有证明），左移使得更容易取得较小的$\zeta$，故添加零点后更易改善系统的暂态性能，也可能使不稳定的系统稳定。

5.2 滞后补偿

• 作用

  改善稳态响应

• 一种超前补偿器

  $$G_c(s)=K_c\beta\frac{Ts+1}{\beta Ts+1}=K_c\frac{s+\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{\beta T}},\beta>1$$

  其中新增的极点$\frac{1}{T}$离虚轴更近，起主要作用。超前补偿器为开环传递函数增加了一对偶极子（就是挨得很近的极点和零点，故这种操作对系统的暂态响应没有显著影响），会改变系统的开环增益，进而也能改变系统的稳态响应。设计时要满足

  $$\frac{1}{T}\ll1,\ \frac{1}{\beta T}\ll1,\ K_c\approx 1$$
  • 设计步骤
    • 由性能指标确定$\beta$
    • 由经验确定$T$
    • 由经验确定$K_c$，绘制根轨迹，确定补偿后的根轨迹未发生大的变化
    • 通过计算稳态误差检查是否达到性能指标
    • 通过仿真检查暂态响应是否仍符合性能指标

• PI控制器

  形式为$K_p+K_i\frac{1}{s}$，因为其幅角总小于0，所以也是一种滞后补偿器。