自控理论 第04章 根轨迹方法

4.1 引入

• 劳斯判据的缺陷

  虽然能判断是否稳定，但是不能判断稳定后的各项指标如何，具体来说就是劳斯判据不能反映超调量、上升时间等信息。所以还要继续找新的方法，本章介绍的根轨迹方法就是一种既能判稳，又能反应稳定后的其他指标的方法。

• 定义

  • 开环传递函数

    不失一般性地，令前向支路传递函数\(G(s)=\frac{N_1(s)}{D_1(s)}\)与反馈支路传递函数\(H(s)=\frac{N_2(s)}{D_2(s)}\)，则它们的乘积定义为开环传递函数（return ratio）\(G_o(s)\)。

    

    \[G_o(s)=G(s)H(s)=\frac{N_1(s)}{D_1(s)}\cdot\frac{N_2(s)}{D_2(s)}=\frac{K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}=\frac{KN_o(s)}{D_o(s)} \]

    • 此处的开环传递函数和上一章的开环传递函数其实是同一个东西，只不过上一章中都是单位反馈\(H(s)=1\)，所以就有\(G_o(s)=G(s)H(s)=G(s)\)了。
    • 以上述的形式表示开环传递函数，则\(K\)称为根轨迹增益。

  • 特征方程

    \[D(s)=N_1(s)N_2(s)+D_1(s)D_2(s)=D_o(s)+KN_o(s) \]

4.3 构建根轨迹的规则

与其说是规则不如说是规律，不过ppt上用的rule，老师也说的规则，就按规则来吧。。

根轨迹的定义

随着\(K\)从0增大到\(\infty\)，特征方程\(D_o(s)+KN_o(s)=0\)的根，也即原闭环传递函数的极点在复平面上的运动轨迹称为根轨迹。为了方便后边的分析，一般还都写为下列定义式中\(\frac{N_{\mathrm{o}}(s)}{D_{\mathrm{o}}(s)}=-\frac{1}{K}\)的形式

\[\mathcal{R} \mathcal{L}\left(D_{\mathrm{o}}, N_{\mathrm{o}}\right)=\left\{s: \frac{N_{\mathrm{o}}(s)}{D_{\mathrm{o}}(s)}=-\frac{1}{K}, K \in[0, \infty)\right\} \]

注意：虽然下边一直在拿\(G_o(s)\)讨论，但根轨迹不是\(G_o(s)\)极点的轨迹，而是原来的闭环传递函数极点的轨迹。

• 相角条件：由定义有\(G_o(s)=-1\quad s\in\mathcal{RL}(D_o,N_o)\)，故根轨迹上的点满足

  \[\angle G_o(s)=(2k+1)\pi,s\in\mathcal{RL}(D_o,N_o) \]

• 幅值条件：由定义易知

  \[K=\left|\frac{D_o(s)}{N_o(s)}\right| \]

规则0：实系统的根轨迹总是关于实轴对称

因为复数根总是共轭的，所以它们的轨迹也会关于是轴对称。

规则1：根轨迹分支的个数等于开环传递函数\(G_o(s)\)的阶次

这里假设\(D_o(s)\)和\(N_o(s)\)已经没有公因式了。则根据\(n\)此方程有\(n\)个根的定理，易得此规则。

规则2：根轨迹起点和终点的规律

\(K\to0\)时，\(G_o(s)=\frac{N_o(s)}{D_o(s)}\to\infty\)，故根轨迹起始于开环传递函数的极点；

\(K\to\infty\)时，\(G_o(s)=\frac{N_o(s)}{D_o(s)}\to0\)，故根轨迹终止于开环传递函数的零点。

• 注意无穷远也可能是零点。

规则3：实轴上根轨迹的规律

实轴上一点右边的零/级点个数（重根算多个）若为奇数，则该点在根轨迹上，反之则不在。

• 证明：

  \(s\)在实轴上时，有

  \[\frac{N_o(s)}{D_o(s)}=\frac{K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}<0 \]

  对于共轭的极点或零点\(s_1,s_2\)，总有\(|s-s_1||s-s_2|=|s-\sigma-j\omega||s-\sigma+j\omega|=(s-\sigma)^2+\omega^2>0\)，所以它们不会使得开环传函为负。继续考虑实数的零点和极点\(s_0\)，如果\((s-s_0)<0\)，有\(s<s_0\)，即该点\(s_0\)会在这段根轨迹的右边。再稍微扩展一下就得到了该条规则。

规则4：\(s\to \infty\)时根轨迹渐近线的规律

推导翻书，太长不抄啦。思路：将\(\frac{D_o}{N_o}\)展开为\(s\)的多项式，省略\(s\to\infty\)时的二阶小量，然后再泰勒展开一次，计算稍微多一点，建议背下来咯。

\[s-\frac{\sum\limits_{j=1}^np_j-\sum\limits_{i=1}^mz_i}{n-m}\approx K^{\frac{1}{n-m}}e^{j\frac{(2k+1)\pi}{n-m}} \]

故渐近线与x轴的截距和夹角为

\[\left\{ \begin{aligned} \sigma_a&=\frac{\sum\limits_{j=1}^np_j-\sum\limits_{i=1}^mz_i}{n-m}\\ \theta_a&=\frac{(2k+1)\pi}{n-m} \end{aligned} \right. \]

规则5：分离点、汇合点的规律

• 定义

  • 分离点：实轴上相邻两极点之间的根轨迹在该点脱离实轴。
  • 汇合点：实轴上相邻两零点之间的根轨迹在该点到达实轴。

• 特点：分离点、汇合点是开环增益\(K=-\frac{D_o(s)}{N_o(s)}\)沿实轴变化时的极值点。举个例子，根轨迹终止于实轴上两个相邻的零点，则在两条根轨迹从汇合点出发然后终止于两零点的过程中，\(K\)一直增大，故汇合点处的\(K\)就是这两个零点之间的极小值。

  • 分离点是极大值点。
  • 汇合点是极小值点。

• 计算：此时的极点\(s\)满足\(\frac{\mathrm d}{\mathrm d s}\frac{D_o(s)}{N_o(s)}=0\)，既满足

  \[D_o'(s)N_o(s)-N_o'(s)D_o(s)=0 \]
  • 要注意该方程的解只是驻点（stationary point，即一阶导数为0的店），而驻点不一定是极值点。严格来说要检查高阶导数以排除非极值点的情况，但一般遇不到。。。

规则6：根轨迹出射角、入射角的计算

由相角条件有

\[\angle G_o(s)=\sum\limits_{i=1}^m(s-z_i)-\sum\limits_{i=j}^n(s-p_j)=(2k+1)\pi \]

让\(s\)趋近极点和零点可以得到以下结论（非重根的结论是易得到的，至于重根为什么是除一个\(n\)得到的，课上没有解释）

• 出射角：下标_d指departure，即离开极点；\(n_l\)是指这个极点是\(n_l\)重极点。

  \[\theta_{d,l}=\frac{1}{n_l}\left[(2k+1)\pi+\sum\limits^m_{i}\angle(p_l-z_i)-\sum\limits^n_{j\ne l}\angle(p_l-p_j)\right] \]

• 入射角：下标_a指approach，即趋近零点；\(n_h\)是指这个极点是\(n_h\)重零点。

  \[\theta_{a,h}=\frac{1}{n_h}\left[(2k+1)\pi-\sum\limits^m_{i\ne h}\angle(z_h-z_i)+\sum\limits^n_{j}\angle(z_h-p_j)\right] \]

规则7：虚轴穿越点、临界稳定根轨迹增益的计算

假设根轨迹在\((0,j\omega)\)穿越虚轴，且此时的增益为\(K_{cr}\)（_cr指critical，此时系统临界稳定），则满足

\[K_{cr}N_o(j\omega)+D_o(j\omega)=0 \]

将\(N_o(j\omega)\)、\(D_o(j\omega)\)用\(a+jb\)的形式表示，则可以得到一个关于\(K_{cr}\)和\(\omega\)的方程组，解该方程组即可得到它俩。

\[\left\{ \begin{aligned} N_o(j\omega)=h_N(-\omega^2)+j\omega g_N(-\omega^2)\\ D_o(j\omega)=h_D(-\omega^2)+j\omega g_D(-\omega^2) \end{aligned} \right.\\ \]

规则8：根轨迹在实轴上的交点的规律

规则5是规则8的特例，规则5描述的是两条根轨迹在实轴上相交的规律，规则8描述的则是\(r\)条根轨迹在复平面上任意一点相交的规律。

假设\(r\)条根轨迹相交于\(s_0\)，则此时有（用的不多，证明翻书吧）

\[\left.\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d s^k}\frac{D_o(s)}{N_o(s)}\right|_{s=s_0}=0,\forall 1\le k\le r-1 \]

故求解上述方程，然后将解带入\(\frac{D_o(s)}{N_o(s)}\)验证是否为负实数即可得到根轨迹的交点。

• 同时\(s_0\)还是特征方程的\(r\)重根，由根轨迹的定义可以的到这个表述。
• 分离点和汇合点只涉及到了根轨迹在实轴上的相交，但此处得到的交点可能在复平面上的任意一点。

规则9：\(n-m\ge2\)时，闭环极点的和等于开环极点的和

假设开环极点为\(r_i\ i\in[1,n]\)，则有

\[\prod_{j=1}^{n}\left(s-p_{j}\right)+K \prod_{i=1}^{m}\left(s-z_{i}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(s-r_{k}\right) \]

当\(n-m>2\)时通过上式求\(s^{n-1}\)的系数即可得到该规则。

• \(K\)增大时，闭环极点会变化，但开环极点不会变化。该规则说明了当\(n-m>2\)时，虽然闭环极点会随着\(K\)增大而变化，但它们的总和不会变，所以如果有一条根轨迹随着\(K\)增大而向左走，则为了极点之和不变就一定会有一条根轨迹向右走，这条根轨迹在\(K\)较大时则很有可能导致系统不在稳定。

规则10：这10条规则不能唯一确定根轨迹

只是一些规律嘛，这是当然的。现在毕竟有Python有MatLab，学这个很大一部分原因应该只是应付考试中的手绘根轨迹题目了。

手绘步骤

1. 求出开环传函
2. 求出开环传函的零、极点
3. 确定实轴上的根轨迹
4. 求出分离点、汇合点
5. 求出出射角和入射角
6. 求出穿越点、临界稳定根轨迹增益
7. 求出渐近线
8. 定性手绘

4.4 特殊的根轨迹

4.4.1 其他系统参数的根轨迹（广义根轨迹）

先写出特征方程，然后把它调整成以下形式

\[\frac{N_o'(s)}{D_o'(s)}=-\frac{1}{\theta_i} \]

其中\(\theta_i\)是关心的系统参数，则就又可以用上一节中的方法画根轨迹啦。

4.4.2 正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）

形成正反馈既可能由综合点的符号导致，也可能由反馈通路传递函数\(H(s)\)系数的符号导致，确定到底是不是正反馈系统，稳妥的方法是看特征方程写成什么样：

\[D_o(s)\pm KN_o(s)=0 \]

其中

\[\left\{ \begin{aligned} N_o(s)&=(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)\\ D_o(s)&={(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}\\ \end{aligned} \right. \]

如果取正号则是负反馈，规则按普通的根轨迹来；反之则是零度根轨迹，所有普通根轨迹中涉及\((2k+1)\pi\)的地方都得改为\(2k\pi\)。

• 相角条件

  \[\angle G_o(s)=2k\pi,s\in\mathcal{RL}(D_o,N_o) \]

• 规则3

  实轴上一点右边的零/级点个数（重根算多个）若为偶数，则该点在根轨迹上，反之则不在。

• 规则4

  \[s-\frac{\sum\limits_{j=1}^np_j-\sum\limits_{i=1}^mz_i}{n-m}\approx K^{\frac{1}{n-m}}e^{j\frac{2k\pi}{n-m}} \]

• 规则6

  • 出射角：下标_d指departure，即离开极点；\(n_l\)是指这个极点是\(n_l\)重极点。

    \[\theta_{d,l}=\frac{1}{n_l}\left[2k\pi+\sum\limits^m_{i}\angle(p_l-z_i)-\sum\limits^n_{j\ne l}\angle(p_l-p_j)\right] \]

  • 入射角：下标_a指approach，即趋近零点；\(n_h\)是指这个极点是\(n_h\)重零点。

    \[\theta_{a,h}=\frac{1}{n_h}\left[2k\pi-\sum\limits^m_{i\ne h}\angle(z_h-z_i)+\sum\limits^n_{j}\angle(z_h-p_j)\right] \]