自控元件 第4章 交流异步电机-1

明天考这门课，这个笔记的质量可想而知😢。没那么忙了就继续完善它！

概述

• 电机分类

  graph LR D(电机) Z(直流电机);J(交流电机) T(同步电机);Y(异步电机) S(鼠笼型异步电动机);R(绕线型异步电动机) D-->Z;D-->J J-->T;J-->Y Y-->S;Y-->R
  • 异步指的转速会随负载大小而改变，同步电机的转速则会与交流电源保持一致。

• 交流异步电动机的特点

  • 优点：结构简单，重量轻；价格便宜；运行可靠；维修方便。
  • 缺点：不能大范围的平滑调速；会从电网吸取滞后的励磁电流，使电网的功率因数变坏。

  注意本章不像上一章讨论电动机和发电机都讨论了，本章讨论的只有电动机。

4.1 交流异步电动机的结构和磁场

4.1.1 结构

定子

• 组成：定子铁心、定子绕组、轴承以及其它固定装置。
• 接法：分接成\(Y\)（电压要除\(\sqrt 3\)）和接成\(\Delta\)。

转子

• 组成：组成：转子铁心、转子绕组、轴承以及其它固定装置。
• 分类
  • 笼型：结构简单，应用广泛。
  • 绕线型：结构复杂，可接入额外的控制装置（？），用于特殊场合。

4.1.2 磁场

参数

• 相绕组\(m\)：这里的“绕组”貌似和之前说的一个磁极上绕的一个绕组（线圈）不一样，感觉指的是输入的交流电的相数，常见的就是单相和三相。这里的一个相绕组可以有多个极对。

• 极对数\(p\)：一个绕组具有的N、S磁极的对数。

  • 有时候还会说极数，比如六极、四极什么的，这个要除以2才能得到极对数。

• 极距\(\tau\)：相邻磁极沿电枢间隔的弧长，有\(\tau=\frac{\pi D}{2p}\)。

• 机械角度\(\beta\)：圆周上两个元素与圆心的连线所形成的锐角或平角。

• 电角度\(\alpha\)：机械角度与极对数的积，即

  \[\alpha=p\beta \]

  使用电角度的方便之处可以在下边举的例子中体会一下~

• 定子绕组的位置

  • 相邻绕组之间的电角度：电信号的相位差\(\varphi\)

    • 对于两相交流电机，两相绕组差\(90^\circ\)电角度

      两相相位差为\(90^\circ\)，这样一个正弦一个余弦可以叠加出一个旋转矢量。

    • 对于三相交流电机，两相绕组差\(120^\circ\)电角度

      这样也可以叠加出旋转矢量。

  • 同一绕组的相邻极对之间的电角度：\(360^\circ\)

  • 同一极对的一对导体之间的电角度：\(180^\circ\)

举例说明一下

• 使用电角度计算两相交流电机的机械角度

  

  	\(p=1\)	\(p=2\)
  相邻绕组间的机械角度	\(90^\circ\)	\(45^\circ\)
  同一绕组的相邻极对间的机械角度	\(360^\circ\)	\(180^\circ\)
  同一极对的一对导体间的机械角度	\(180^\circ\)	\(90^\circ\)

• 使用电角度计算三相交流电机的机械角度

  

  	\(p=1\)	\(p=2\)
  相邻绕组间的电角度	\(120^\circ\)	\(60^\circ\)
  同一绕组的相邻极对间的电角度	\(360^\circ\)	\(180^\circ\)
  同一极对的一对导体间的电角度	\(180^\circ\)	\(90^\circ\)

磁场

• 单相绕组的磁场

  根据环路定理，则在任意某一时刻，因为气隙长度均匀，气隙磁势是一个沿圆周变化的方波，边沿出现在导体处（原因见下图）。取沿电枢表面圆周坐标的原点在绕组轴线的一端，做傅里叶级数展开后，可以得到

  

  \[\begin{aligned} f_{A1}(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t)\cos(\frac{\pi}{\tau}x)\\ &\approx0.91IN_y\sin(\omega t)\cos(\frac{\pi}{\tau}x) \end{aligned} \]
  • 这个磁势也称为“脉振磁势”。
  • \(\frac{\pi}{\tau}\)从哪里来的：极对不同会产生不同周期的方波，具体为\(\frac{2\pi}{p}\cdot \frac{D}{2}=2\tau\)，对不同周期的方波做傅里叶级数展开就会得到\(\cos(\frac{2\pi}{2\tau}x)=\cos(\frac{\pi}{\tau}x)\)。

• 三相绕组的磁场

  • 空间矢量图：建立一个正弦磁动势与空间矢量的映射关系

    

  回忆一下电力电子SVPWM以套用结论：

  

  如果把三相正弦输出的瞬时值相对时间的变化一维图像间隔120度的画在平面上，并把它们映射为该平面上的向量，则有以下关系（为方便计算而使用复数代替了向量）

  \[\left\{ \begin{aligned} \tilde U&=U_m\sin(\omega t)\\ \tilde V&=U_m\sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \tilde W&=U_m\sin(\omega t-\frac{2\pi}{3})e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} \Rightarrow \ &\tilde U+\tilde V+\tilde W\\ =&U_m[\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}+\frac{e^{j(\omega t+\frac{2\pi}{3})}-e^{-j(\omega t+\frac{2\pi}{3})}}{2j}e^{j\frac{2\pi}{3}}+\frac{e^{j(\omega t-\frac{2\pi}{3})}-e^{-j(\omega t-\frac{2\pi}{3})}}{2j}e^{-j\frac{2\pi}{3}}]\\ =&U_m(\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}+\frac{e^{j(\omega t-\frac{2\pi}{3})}-e^{-j\omega t}}{2j}+\frac{e^{j\omega t+\frac{2\pi}{3}}-e^{-j\omega t}}{2j})\\ =&U_m\frac{-3e^{-j\omega t}}{2j}\\ =&\frac{3}{2}U_me^{-j(\omega t-\frac{\pi}{2})} \end{aligned} \]

  现在拿到的是

  \[\left\{ \begin{aligned} f_A(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t)\cos(\frac{\pi}{\tau}x)\\ f_B(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}N_y\sin(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{\tau}x-\frac{2\pi}{3})\\ f_C(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{\tau}x+\frac{2\pi}{3})\\ \end{aligned} \right.\\ \]

  把空间矢量图中的对应的矢量用复数表示就是

  \[\left\{ \begin{aligned} \tilde f_A(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t)\\ \tilde f_B(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t-\frac{2\pi}{3})e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \tilde f_C(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{aligned} \right.\\ \]

  空间矢量示意图如下，图示是\(p=1\)的情形：

  

  • 三者的相位关系：A超前B，B超前C，C因为正弦信号的周期性质又超前A。

  类比一下电力电子的结果，此处合成之后的结果也就应该是

  \[\tilde f(x,t)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_ye^{-j(\omega t-\frac{\pi}{2})} \]

  用矢量表示则这是一个旋转矢量，换回关于沿圆轴坐标的表示可以得到

  \[\begin{aligned} f(x,t)&=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}IN_y\cos(\frac{\pi}{\tau}x-\omega t+\frac{\pi}{2})\\ &=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t-\frac{\pi}{\tau}x)\\ &\approx 1.35IN_y\sin(\omega t-\frac{\pi}{\tau}x) \end{aligned} \]

  这是一个沿圆周（\(x\)轴正方向，也称“从超前相转向滞后相”）传递的正弦行波，对应空间矢量的转速，也称为同步转速，为（标准单位\(r/s\)）

  \[n_1=\frac{v}{\pi D}=\frac{\frac{\tau}{\pi}\omega}{\pi D}=\frac{\omega}{2p\pi}=\frac{f_1}{p} \]

  • 约定使用下标1表示定子的物理量，下标2表示转子的物理量。
  • 所谓正弦行波就是一个随着时间而沿空间轴平移的正弦波

  按照习惯，\(f_1\)取\(Hz\)单位，则\(r/min\)单位的转速在数值上满足

  我个人非常讨厌这种计算不带单位然后最后强行加系数修正的方法，然而书上就这么做。

  \[n_1=\frac{60f_1}{p}(rad/min)\tag1 \]

4.2 三相交流异步电动机

标题是三相的，但是内容很多事异步电动机通用的。

4.2.1 转差率与工作状态

• 定义转差率\(s\)：其中\(n_1\)为同步转速，\(n\)为实际转速

  \[s=\frac{n_1-n}{n_1}\times 100\%=(1-\frac{n}{n_1})\times100\%\\ \]

  容易得到

  \[n=n_1(1-s)\tag2 \]

• 由转差率判断工作状态（其实要到4.2节最后才差不多把这件事解释清楚）

  转差率	转速	工作状态
  \(s<0\)	\(n>n_1\)	发电机
  \(0<s<1\)	\(0<n<n_1\)	电动机
  \(s>1\)	\(n<0\)	电磁制动

4.2.2 转子静止时的物理关系

注意：以下讨论中用的是幅值，因为后边使用频率折合的时候不好讨论相位。因为频率不一，折合后结果的相位信息也就没有什么意义了。

首先得把转子也分为a、b、c三相来看，转子静止时，其中的感应电势和转子同频滤，定子和转子中的感应电势幅值分别为

\[E_A=2\pi f_1N_1k_{N1}\phi_m\\ E_a=2\pi f_1N_2k_{N2}\phi_m\\ \]

• \(\phi_m\)：同时穿过定子磁极和转子铁心的磁通的幅值。
• \(k_{N1},\ k_{N2}\)：考虑到绕组分布在圆周上而引入的修正系数。

则此时相当于是三个变压器，定子相当于一次绕组，转子相当于是二次绕组，折合系数为

\[K=\frac{N_1k_{N1}}{N_2k_{N2}} \]

4.2.3 转子旋转时的物理关系

转子中感应电势、电流的频率

旋转磁场转速为\(n_1\)，转子转速为\(n\)，二者旋转方向形同。换到相对转子静止的参考系下，则旋转磁场的转速为\(n_1-n\)，旋转磁场在转子中产生的感应电势和电流的频率即为

\[f_2=\frac{p(n_1-n)}{60}=sf_1\tag3 \]

涉及对电磁物理量更换参考系，感觉有点心虚。。。

感应电流又会产生旋转磁场，其转速为

\[n_2=\frac{60f_2}{p}=\frac{60sf_1}{p}=sn_1=n_1-n \]

即与当前参考系下定子产生的旋转磁场相同，说明转子产生的旋转磁场与定子产生的旋转磁场同步。

等效电路

符号约定：旋转转子折合前各实际物理量均加下标s，折合后的物理量只加下标1或2表示分别事定子或转子的量。

频率折合

因为旋转后转子中的感应电势、电流的频率都变为了\(f_2\)，不能直接当作原来的变压器做了，需要先做一点点转换。不过好在感应电动势、感抗和频率成正比，且已知\(f_2=sf_1\)，故可以很容易地把自变量\(f_2\)换成\(f_1\)：

\[E_{2s}(f_2)=(\pi N_2k_{N2}\phi_m)f_2=(\pi N_2k_{N2}\phi_m)sf_1=sE_2(f_1)\\ x_{2s}=L_2f_2=sL_2f_1=sx_2 \]

故有以下折合关系

\[\begin{aligned} &I_{2 s}\left(f_{2}\right)=\frac{E_{2 s}(f_2)}{\sqrt{\left(r_{2}^{2}+x_{2 s}^{2}\right)}}=\frac{s E_{2}(f_1)}{\sqrt{\left(r_{2}^{2}+\left(s x_{2}\right)^{2}\right)}}=\frac{E_{2}(f_1)}{\sqrt{\left(\frac{r_{2}}{s}\right)^{2}+x_{2}^{2}}}=I_{2}\left(f_{1}\right) \\ &\cos \varphi_{2 s}\left(f_{2}\right)=\frac{r_{2}}{\sqrt{\left(r_{2}^{2}+x_{2 s}^{2}\right)}}=\frac{r_{2} / s}{\sqrt{\left(\frac{r_{2}}{s}\right)^{2}+x_{2}^{2}}}=\cos \varphi_{2}\left(f_{1}\right) \end{aligned} \]

所以总结来说的话，除了转子绕组电阻\(r_2\)需要除以转差率\(s\)之外，其它不用怎么变。

绕组折合

使用变比\(K=\frac{N_1k_{N1}}{N_2k_{N2}}\)

结果

频率折合、绕组折合都用上，有

\[x_2'=Kx_2\\ \frac{r_2'}{s}=K\cdot\frac{r_2}{s} \]

注意此处等效电路电流方向和之前整理变压器时的不一样，但其实影响不大，应为电压和阻抗都是确定的，算出来无非改一下符号。

\[\left\{ \begin{aligned} \dot U_1 &= -\dot E+\dot I_1(r_1+jx_1)\\ \dot E_2'&=\dot E_1=-\dot I_0(r_m+jx_m)\\ \dot E_2'&=\dot I_2'(\frac{r_2'}{s}+jx'_2)=\dot I_2'(r_2'+jx'_2)+\dot I_2'\frac{1-s}{s}r_2'\\ \dot I_0&=\dot I_1+\dot I_2' \end{aligned} \right. \]

• \(x_1,\ x_2'\)：定子漏抗和折合后的转子漏抗。
• \(r_1,\ r_2'/s\)：定子绕组电阻和折合后的转子绕组电阻。
• \(r_m\)：定子铁心损耗等效的电阻。
• \(x_m\)：定子绕组电感。

\(s=1\)时以上等效电路与转子不动时的等效电路相同，可以推测\(r_2'\frac{1-s}{s}\)上消耗的功率与转动时的机械功率相等。

我感觉ppt得出这个结论实在太草率了，就说了个“根据能量守恒原理”。。。

4.3 三相交流异步电动机的功率和转矩

4.3.1 功率关系

• 有关系

  \[P_{em}:P_{cu2}:P_j=1:s:(1-s) \]

• 因为转子磁通变化频率\(f_2\)较低，其造成的铁心损耗（转子的\(r_m\)）一般不计。

4.3.2 电磁转矩和机械特性

• 转矩与功率

  • \(P_2=M_2\varOmega\)
  • \(P_0=M_0\varOmega\)
  • \(P_{em}=M_{em}\varOmega_1\)
  • \(P_J=M_{em}\varOmega=M_{em}(1-s)\varOmega_1=(1-s)P_{em}\)

• 电磁转矩计算

  \[M_{em}=C_m\phi_mI_2'\cos\varphi_2' \]

• 机械特性：指\(M_{em}=f(s)\)曲线

  根据等效电路可以（暴力）求得

  \[M_{e m}=\frac{m_{1} p U_{1}^{2} r_{2}^{\prime} / s}{2 \pi f_{1}\left[\left(r_{1}+C_{1} \frac{r_{2}^{\prime}}{s}\right)^{2}+\left(x_{1}+C_{1} x_{2}^{\prime}\right)^{2}\right]} \]

  其中\(C_1=1+\frac{r_1+jx_1}{r_m+jx_m}\)

  
  • 过载能力\(K_t=\frac{M_{max}}{M_N}\)：最大转矩与额定转矩之比。
  • 空载转速：理想条件（无摩擦等损耗）下，空载时转子可以以同步转速旋转，即\(n_0=n_1\)，此时对应\(s=0\)。实际中因为存在空载转矩\(M_0\)，空载转速\(n_0\)仍会小于\(n_1\)，即在\(s>0\)的某处。
  • 起动（堵转）转矩：即\(s=1\)时的转矩。为了让电机启动更迅速，可以通过增大转子回路电阻\(r_2'\)的方法来增大起动转矩。
  • 上图中\(0\sim0.2\)一段是稳定工作区，该段进行进行调速输出功率较为稳定（个人理解的“稳定”）。

4.4 三相交流异步电动机的使用

• 启动

  • 直接启动
    • 优点：简单
    • 缺点：电流过大
  • 降压启动：先低压启动，再逐渐升压。
    • 优点：电流小
    • 缺点：启动转矩小
  • 绕线式转子：启动时调大转子串联的电阻。

• 反转

  改变任意两相的相序即可

• 制动

  • 反接制动：即反转，减速到0时立刻切断电源。
  • 能耗制动：以直流电代替交流电，通过产生的恒定磁场制动。

• 调速

  • 同步转速不变，而改变转差率
    • 改变极对数
    • 改变定子励磁电压
    • 改变绕线式转子的电阻
    • 在转子中增加一个与转子电势同频率而相位相反的电势
  • 转差率不变，而改变同步转速
    • 改变电源频率

• 额定值

  • 额定电压：额定状态下定子绕组上所加的线电压。