自控元件 第4章 交流异步电机-1

明天考这门课，这个笔记的质量可想而知😢。没那么忙了就继续完善它！

概述

• 电机分类

  • 异步指的转速会随负载大小而改变，同步电机的转速则会与交流电源保持一致。

• 交流异步电动机的特点

  • 优点：结构简单，重量轻；价格便宜；运行可靠；维修方便。
  • 缺点：不能大范围的平滑调速；会从电网吸取滞后的励磁电流，使电网的功率因数变坏。

  注意本章不像上一章讨论电动机和发电机都讨论了，本章讨论的只有电动机。

4.1 交流异步电动机的结构和磁场

4.1.1 结构

定子

• 组成：定子铁心、定子绕组、轴承以及其它固定装置。
• 接法：分接成$Y$（电压要除$\sqrt 3$）和接成$\Delta$。

转子

• 组成：组成：转子铁心、转子绕组、轴承以及其它固定装置。
• 分类
  • 笼型：结构简单，应用广泛。
  • 绕线型：结构复杂，可接入额外的控制装置（？），用于特殊场合。

4.1.2 磁场

参数

• 相绕组$m$：这里的“绕组”貌似和之前说的一个磁极上绕的一个绕组（线圈）不一样，感觉指的是输入的交流电的相数，常见的就是单相和三相。这里的一个相绕组可以有多个极对。

• 极对数$p$：一个绕组具有的N、S磁极的对数。

  • 有时候还会说极数，比如六极、四极什么的，这个要除以2才能得到极对数。

• 极距$\tau$：相邻磁极沿电枢间隔的弧长，有$\tau=\frac{\pi D}{2p}$。

• 机械角度$\beta$：圆周上两个元素与圆心的连线所形成的锐角或平角。

• 电角度$\alpha$：机械角度与极对数的积，即

  $$\alpha=p\beta$$

  使用电角度的方便之处可以在下边举的例子中体会一下~

• 定子绕组的位置

  • 相邻绕组之间的电角度：电信号的相位差$\varphi$

    • 对于两相交流电机，两相绕组差$90^\circ$电角度

      两相相位差为$90^\circ$，这样一个正弦一个余弦可以叠加出一个旋转矢量。

    • 对于三相交流电机，两相绕组差$120^\circ$电角度

      这样也可以叠加出旋转矢量。

  • 同一绕组的相邻极对之间的电角度：$360^\circ$

  • 同一极对的一对导体之间的电角度：$180^\circ$

举例说明一下

• 使用电角度计算两相交流电机的机械角度

  

  	$p=1$	$p=2$
  相邻绕组间的机械角度	$90^\circ$	$45^\circ$
  同一绕组的相邻极对间的机械角度	$360^\circ$	$180^\circ$
  同一极对的一对导体间的机械角度	$180^\circ$	$90^\circ$

• 使用电角度计算三相交流电机的机械角度

  

  	$p=1$	$p=2$
  相邻绕组间的电角度	$120^\circ$	$60^\circ$
  同一绕组的相邻极对间的电角度	$360^\circ$	$180^\circ$
  同一极对的一对导体间的电角度	$180^\circ$	$90^\circ$

磁场

• 单相绕组的磁场

  根据环路定理，则在任意某一时刻，因为气隙长度均匀，气隙磁势是一个沿圆周变化的方波，边沿出现在导体处（原因见下图）。取沿电枢表面圆周坐标的原点在绕组轴线的一端，做傅里叶级数展开后，可以得到

  

  $$\begin{aligned} f_{A1}(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t)\cos(\frac{\pi}{\tau}x)\\ &\approx0.91IN_y\sin(\omega t)\cos(\frac{\pi}{\tau}x) \end{aligned}$$
  • 这个磁势也称为“脉振磁势”。
  • $\frac{\pi}{\tau}$从哪里来的：极对不同会产生不同周期的方波，具体为$\frac{2\pi}{p}\cdot \frac{D}{2}=2\tau$，对不同周期的方波做傅里叶级数展开就会得到$\cos(\frac{2\pi}{2\tau}x)=\cos(\frac{\pi}{\tau}x)$。

• 三相绕组的磁场

  • 空间矢量图：建立一个正弦磁动势与空间矢量的映射关系

    

  回忆一下电力电子SVPWM以套用结论：

  

  如果把三相正弦输出的瞬时值相对时间的变化一维图像间隔120度的画在平面上，并把它们映射为该平面上的向量，则有以下关系（为方便计算而使用复数代替了向量）

  $$\left\{ \begin{aligned} \tilde U&=U_m\sin(\omega t)\\ \tilde V&=U_m\sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \tilde W&=U_m\sin(\omega t-\frac{2\pi}{3})e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} \Rightarrow \ &\tilde U+\tilde V+\tilde W\\ =&U_m[\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}+\frac{e^{j(\omega t+\frac{2\pi}{3})}-e^{-j(\omega t+\frac{2\pi}{3})}}{2j}e^{j\frac{2\pi}{3}}+\frac{e^{j(\omega t-\frac{2\pi}{3})}-e^{-j(\omega t-\frac{2\pi}{3})}}{2j}e^{-j\frac{2\pi}{3}}]\\ =&U_m(\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}+\frac{e^{j(\omega t-\frac{2\pi}{3})}-e^{-j\omega t}}{2j}+\frac{e^{j\omega t+\frac{2\pi}{3}}-e^{-j\omega t}}{2j})\\ =&U_m\frac{-3e^{-j\omega t}}{2j}\\ =&\frac{3}{2}U_me^{-j(\omega t-\frac{\pi}{2})} \end{aligned}$$

  现在拿到的是

  $$\left\{ \begin{aligned} f_A(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t)\cos(\frac{\pi}{\tau}x)\\ f_B(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}N_y\sin(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{\tau}x-\frac{2\pi}{3})\\ f_C(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{\tau}x+\frac{2\pi}{3})\\ \end{aligned} \right.\\ $$

  把空间矢量图中的对应的矢量用复数表示就是

  $$\left\{ \begin{aligned} \tilde f_A(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t)\\ \tilde f_B(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t-\frac{2\pi}{3})e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \tilde f_C(x,t)&=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t+\frac{2\pi}{3})e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \end{aligned} \right.\\ $$

  空间矢量示意图如下，图示是$p=1$的情形：

  

  • 三者的相位关系：A超前B，B超前C，C因为正弦信号的周期性质又超前A。

  类比一下电力电子的结果，此处合成之后的结果也就应该是

  $$\tilde f(x,t)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{\pi}IN_ye^{-j(\omega t-\frac{\pi}{2})}$$

  用矢量表示则这是一个旋转矢量，换回关于沿圆轴坐标的表示可以得到

  $$\begin{aligned} f(x,t)&=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}IN_y\cos(\frac{\pi}{\tau}x-\omega t+\frac{\pi}{2})\\ &=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}IN_y\sin(\omega t-\frac{\pi}{\tau}x)\\ &\approx 1.35IN_y\sin(\omega t-\frac{\pi}{\tau}x) \end{aligned}$$

  这是一个沿圆周（$x$轴正方向，也称“从超前相转向滞后相”）传递的正弦行波，对应空间矢量的转速，也称为同步转速，为（标准单位$r/s$）

  $$n_1=\frac{v}{\pi D}=\frac{\frac{\tau}{\pi}\omega}{\pi D}=\frac{\omega}{2p\pi}=\frac{f_1}{p}$$

  • 约定使用下标1表示定子的物理量，下标2表示转子的物理量。
  • 所谓正弦行波就是一个随着时间而沿空间轴平移的正弦波

  按照习惯，$f_1$取$Hz$单位，则$r/min$单位的转速在数值上满足

  我个人非常讨厌这种计算不带单位然后最后强行加系数修正的方法，然而书上就这么做。

  $$n_1=\frac{60f_1}{p}(rad/min)\tag1$$

4.2 三相交流异步电动机

标题是三相的，但是内容很多事异步电动机通用的。

4.2.1 转差率与工作状态

• 定义转差率$s$：其中$n_1$为同步转速，$n$为实际转速

  $$s=\frac{n_1-n}{n_1}\times 100\%=(1-\frac{n}{n_1})\times100\%\\ $$

  容易得到

  $$n=n_1(1-s)\tag2$$

• 由转差率判断工作状态（其实要到4.2节最后才差不多把这件事解释清楚）

  转差率	转速	工作状态
  $s<0$	$n>n_1$	发电机
  $0<s<1$	$0<n<n_1$	电动机
  $s>1$	$n<0$	电磁制动

4.2.2 转子静止时的物理关系

注意：以下讨论中用的是幅值，因为后边使用频率折合的时候不好讨论相位。因为频率不一，折合后结果的相位信息也就没有什么意义了。

首先得把转子也分为a、b、c三相来看，转子静止时，其中的感应电势和转子同频滤，定子和转子中的感应电势幅值分别为

$$E_A=2\pi f_1N_1k_{N1}\phi_m\\ E_a=2\pi f_1N_2k_{N2}\phi_m\\ $$

• $\phi_m$：同时穿过定子磁极和转子铁心的磁通的幅值。
• $k_{N1},\ k_{N2}$：考虑到绕组分布在圆周上而引入的修正系数。

则此时相当于是三个变压器，定子相当于一次绕组，转子相当于是二次绕组，折合系数为

$$K=\frac{N_1k_{N1}}{N_2k_{N2}}$$

4.2.3 转子旋转时的物理关系

转子中感应电势、电流的频率

旋转磁场转速为$n_1$，转子转速为$n$，二者旋转方向形同。换到相对转子静止的参考系下，则旋转磁场的转速为$n_1-n$，旋转磁场在转子中产生的感应电势和电流的频率即为

$$f_2=\frac{p(n_1-n)}{60}=sf_1\tag3$$

涉及对电磁物理量更换参考系，感觉有点心虚。。。

感应电流又会产生旋转磁场，其转速为

$$n_2=\frac{60f_2}{p}=\frac{60sf_1}{p}=sn_1=n_1-n$$

即与当前参考系下定子产生的旋转磁场相同，说明转子产生的旋转磁场与定子产生的旋转磁场同步。

等效电路

符号约定：旋转转子折合前各实际物理量均加下标s，折合后的物理量只加下标1或2表示分别事定子或转子的量。

频率折合

因为旋转后转子中的感应电势、电流的频率都变为了$f_2$，不能直接当作原来的变压器做了，需要先做一点点转换。不过好在感应电动势、感抗和频率成正比，且已知$f_2=sf_1$，故可以很容易地把自变量$f_2$换成$f_1$：

$$E_{2s}(f_2)=(\pi N_2k_{N2}\phi_m)f_2=(\pi N_2k_{N2}\phi_m)sf_1=sE_2(f_1)\\ x_{2s}=L_2f_2=sL_2f_1=sx_2$$

故有以下折合关系

$$\begin{aligned} &I_{2 s}\left(f_{2}\right)=\frac{E_{2 s}(f_2)}{\sqrt{\left(r_{2}^{2}+x_{2 s}^{2}\right)}}=\frac{s E_{2}(f_1)}{\sqrt{\left(r_{2}^{2}+\left(s x_{2}\right)^{2}\right)}}=\frac{E_{2}(f_1)}{\sqrt{\left(\frac{r_{2}}{s}\right)^{2}+x_{2}^{2}}}=I_{2}\left(f_{1}\right) \\ &\cos \varphi_{2 s}\left(f_{2}\right)=\frac{r_{2}}{\sqrt{\left(r_{2}^{2}+x_{2 s}^{2}\right)}}=\frac{r_{2} / s}{\sqrt{\left(\frac{r_{2}}{s}\right)^{2}+x_{2}^{2}}}=\cos \varphi_{2}\left(f_{1}\right) \end{aligned}$$

所以总结来说的话，除了转子绕组电阻$r_2$需要除以转差率$s$之外，其它不用怎么变。

绕组折合

使用变比$K=\frac{N_1k_{N1}}{N_2k_{N2}}$

结果

频率折合、绕组折合都用上，有

$$x_2'=Kx_2\\ \frac{r_2'}{s}=K\cdot\frac{r_2}{s}$$

注意此处等效电路电流方向和之前整理变压器时的不一样，但其实影响不大，应为电压和阻抗都是确定的，算出来无非改一下符号。

$$\left\{ \begin{aligned} \dot U_1 &= -\dot E+\dot I_1(r_1+jx_1)\\ \dot E_2'&=\dot E_1=-\dot I_0(r_m+jx_m)\\ \dot E_2'&=\dot I_2'(\frac{r_2'}{s}+jx'_2)=\dot I_2'(r_2'+jx'_2)+\dot I_2'\frac{1-s}{s}r_2'\\ \dot I_0&=\dot I_1+\dot I_2' \end{aligned} \right.$$

• $x_1,\ x_2'$：定子漏抗和折合后的转子漏抗。
• $r_1,\ r_2'/s$：定子绕组电阻和折合后的转子绕组电阻。
• $r_m$：定子铁心损耗等效的电阻。
• $x_m$：定子绕组电感。

$s=1$时以上等效电路与转子不动时的等效电路相同，可以推测$r_2'\frac{1-s}{s}$上消耗的功率与转动时的机械功率相等。

我感觉ppt得出这个结论实在太草率了，就说了个“根据能量守恒原理”。。。

4.3 三相交流异步电动机的功率和转矩

4.3.1 功率关系

• 有关系

  $$P_{em}:P_{cu2}:P_j=1:s:(1-s)$$

• 因为转子磁通变化频率$f_2$较低，其造成的铁心损耗（转子的$r_m$）一般不计。

4.3.2 电磁转矩和机械特性

• 转矩与功率

  • $P_2=M_2\varOmega$
  • $P_0=M_0\varOmega$
  • $P_{em}=M_{em}\varOmega_1$
  • $P_J=M_{em}\varOmega=M_{em}(1-s)\varOmega_1=(1-s)P_{em}$

• 电磁转矩计算

  $$M_{em}=C_m\phi_mI_2'\cos\varphi_2'$$

• 机械特性：指$M_{em}=f(s)$曲线

  根据等效电路可以（暴力）求得

  $$M_{e m}=\frac{m_{1} p U_{1}^{2} r_{2}^{\prime} / s}{2 \pi f_{1}\left[\left(r_{1}+C_{1} \frac{r_{2}^{\prime}}{s}\right)^{2}+\left(x_{1}+C_{1} x_{2}^{\prime}\right)^{2}\right]}$$

  其中$C_1=1+\frac{r_1+jx_1}{r_m+jx_m}$

  
  • 过载能力$K_t=\frac{M_{max}}{M_N}$：最大转矩与额定转矩之比。
  • 空载转速：理想条件（无摩擦等损耗）下，空载时转子可以以同步转速旋转，即$n_0=n_1$，此时对应$s=0$。实际中因为存在空载转矩$M_0$，空载转速$n_0$仍会小于$n_1$，即在$s>0$的某处。
  • 起动（堵转）转矩：即$s=1$时的转矩。为了让电机启动更迅速，可以通过增大转子回路电阻$r_2'$的方法来增大起动转矩。
  • 上图中$0\sim0.2$一段是稳定工作区，该段进行进行调速输出功率较为稳定（个人理解的“稳定”）。

4.4 三相交流异步电动机的使用

• 启动

  • 直接启动
    • 优点：简单
    • 缺点：电流过大
  • 降压启动：先低压启动，再逐渐升压。
    • 优点：电流小
    • 缺点：启动转矩小
  • 绕线式转子：启动时调大转子串联的电阻。

• 反转

  改变任意两相的相序即可

• 制动

  • 反接制动：即反转，减速到0时立刻切断电源。
  • 能耗制动：以直流电代替交流电，通过产生的恒定磁场制动。

• 调速

  • 同步转速不变，而改变转差率
    • 改变极对数
    • 改变定子励磁电压
    • 改变绕线式转子的电阻
    • 在转子中增加一个与转子电势同频率而相位相反的电势
  • 转差率不变，而改变同步转速
    • 改变电源频率

• 额定值

  • 额定电压：额定状态下定子绕组上所加的线电压。