拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的引入

1. 首先能做的，是对周期函数做傅里叶级数展开，使用复数表达为：

   至于为什么能展开成傅里叶级数，工数（高数）并没有说清楚，只给出了一个没有证明的迪利克雷条件，说只要满足该条件就一定能展开。

   \[f(t) =\sum\limits_{-\infty}^{\infty}c_n e^{jn\omega_0 t}\\ c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0 t}{\rm d}t \]

   频谱图（\(c_n-n\omega_0\)图）由一个个冲激构成，间隔为\(\omega_0\)

2. 周期函数的周期增大至无限，则过渡成非周期函数，而\(\omega_0\to0\)​使得原来离散的频谱图变成了连续谱：

   \[\left\{ \begin{aligned} \lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{1}{T}&=\lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega){\rm d}\omega\\ n\omega_0&\to\omega\\ \lim\limits_{\omega_0\to0}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}h(t){\rm d}t&=\int_{-\infty}^{\infty}h(t){\rm d}t \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} \Rightarrow f(t)&=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}[\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)e^{-jn\omega_0 x}{\rm d}x]e^{jn\omega_0 t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{j\omega t}{\rm d}t]e^{j\omega t}{\rm d}\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega \end{aligned} \]

   其中定义了傅里叶变换

   \[F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t \]

3. 有一部分增长得太快了的函数（比如\(e^{\alpha t}\)），他们的傅里叶变换不收敛。为了继续研究它们的频域，想到了先让它们指数衰减一下，再进行傅里叶变换的方法，于是就得到了拉普拉斯变换

   或者理解为不再像傅里叶变换那样把它们分解为标准的正弦信号，而是分解成幅度随时间衰减的正弦信号\(e^{-\sigma t}\sin(\omega t)\)。

   \[\begin{aligned} \mathcal L[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}{\rm d}t\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}{\rm d}t\\ &=F(s) \end{aligned} \]

   但拉普拉斯变换也不是任何情况下都收敛，能使拉普拉斯变换收敛的s构成了拉普拉斯变换的收敛域。

   工程应用上一般会有时间零点的概念，零点以前的事情是无关紧要的，即\(t<0\)时，可以认为\(x(t)=0\)，继而有单边拉氏变换

   \[F(s)=\int^{-\infty}_{0_-}f(t)e^{-st}{\rm d}t \]

   积分下限取\(0_-\)是考虑到\(t=0\)时可能包含冲激信号或其导数。

   拉普拉斯反变换的计算式好像用的不多，就不作讨论啦。

性质和常用变换对

从定义出发计算拉氏变换及其逆变换需要进行含有复数的积分，比较复杂，所以更多时候还是从性质出发，用性质和常用变换对导出想要的结果。

单边拉普拉斯变换的性质

假设有

\[f(t)\leftrightarrow F(s),\ ROC=R_1=\{{\rm Re}(s)>\sigma_1\}\\ g(t)\leftrightarrow G(s),\ ROC=R_2=\{{\rm Re}(s)>\sigma_2\} \]

则

性质名称	数学表达	收敛域	说明
线性性质	\(af(t)+bg(t)\leftrightarrow aF(s)+bG(s)\)	\(R_1\cup R_2\)或者更大	有可能消去极点
时域平移	\(f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0}F(s)\)	\(R_1\)	符号相同
时域尺度变换	\(f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\)	\(\{{\rm Re}(s)>a\sigma_1\}\)	无
时域微分	\(f'(t)\leftrightarrow sX(s)-x(0_-)\)	\(R_1\)	注意初态，证明用分部积分
时域高阶微分	\(f^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nF(s)-\sum\limits_{i=0}^{n-1}s^{n-1-i}x^{(i)}(0_-)\)	\(R_1\)	多次时域微分
时域积分	\(\int_{-\infty}^tf(\tau){\rm d}t\leftrightarrow \frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}\int_{-\infty}^0f(\tau){\rm d}t\)	\(R_1\cup\{{\rm Re}(s)>0\}\)	注意初态，证明用分部积分
时域卷积	\(f(t)*g(t)\leftrightarrow F(s)G(s)\)	\(R_1\cup R_2\)或者更大	无
复频域平移	\(f(t)e^{s_0t}\leftrightarrow F(s-\sigma_0)\)	\(\{{\rm Re}(s)>\sigma_1+\sigma_0\}\)	符号相反
复频域微分	\(-tf(t)\leftrightarrow F'(s)\)	\(R_1\)	多了个负号
初值定理	\(x(0_+)=\lim\limits_{s\to \infty}sX(s)\)	无	书上没证明
终值定理	\(\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=\lim\limits_{s\to 0}sX(s)\)	要求\(\sigma_1<0\)	可以使用时域微分性质证明

常用拉氏变换对

编号	时域信号	复频域信号	收敛域	可能的推导过程
1	\(\delta(t)\)	1	全平面	从定义出发得到
2	\(\delta(t-t_0)\)	\(e^{-st_0}\)	全平面	由1时域平移得到
3	\(\delta^{(n)}(t)\)	\(s^n\)	全平面	由1时域微分得到
4	\(u(t)\)	\(\frac{1}{s}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由1时域积分得到
5	\(u(t-t_0)\)	\(\frac{e^{-st_0}}{s}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由4时域平移得到
6	\(\frac{1}{n!}t^nu(t)\)	\(\frac{1}{s^{n+1}}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由4时域积分得到
7	\(e^{pt}u(t)\)	\(\frac{1}{s-p}\)	\(\{{\rm Re}(s)>p\}\)	由4复频域平移得到
8	\(\frac{e^{pt}t^n}{n!}u(t)\)	\(\frac{1}{(s-p)^n}\)	\(\{{\rm Re}(s)>p\}\)	由6复频域平移得到
9	\(\sin(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由7和欧拉公式得到
10	\(\cos(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{s}{s^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>0\}\)	由7和欧拉公式得到
11	\(e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>-a\}\)	由9复频域平移得到
12	\(e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\)	\(\frac{s}{(s+a)^2+\omega_0^2}\)	\(\{{\rm Re}(s)>-a\}\)	由10复频域平移得到