P6810 「MCOI-02」Convex Hull 凸包 题解

分析

推式子题。

\[ans=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\tau(i)\tau(j)\tau(\gcd(i,j)) \]

对于 \((i,j)\)，若 \(k\) 是 \((i,j)\) 的因子，则 \(k\) 一定整除 \(i,j\)，所以有：

\[\\ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\tau(i)\tau(j)\sum\limits_{k|i \land k|j} 1\]

把 \(k\) 提到外面去枚举：

\[\\ \sum\limits_{k=1}^{\min(n,m)}\sum\limits_{k|i}^{n}\sum\limits_{k|j}^{m}\tau(i)\tau(j)\]

发现每个 \(j\) 都有 \(\tau(i)\)，提出来：

\[\\ \sum\limits_{k=1}^{\min(n,m)}\sum\limits_{k|i}^{n}\tau(i)\sum\limits_{k|j}^{m}\tau(j)\]

然后就有:

\[\\ \sum\limits_{k=1}^{\min(n,m)}(\sum\limits_{k|i}^{n}\tau(i)) \times (\sum\limits_{k|j}^{m}\tau(j))\]

在枚举 \(k\) 的时候可以通过暴力求出来 \(\sum\limits_{k|i}^{n}\tau(i)\) 和 \(\sum\limits_{k|j}^{m}\tau(j)\)，\(\tau(x)\) 预处理就行了。复杂度 \(O(n \ln n)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define re register
#define il inline
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define gc getchar()
#define rd read()
#define debug() puts("------------")

namespace yzqwq{
	il int read(){
		int x=0,f=1;char ch=gc;
		while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc;}
		while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc;
		return x*f;
	}
	il int qmi(int a,int b,int p){
		int ans=1;
		while(b){
			if(b&1) ans=ans*a%p;
			a=a*a%p,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	il auto max(auto a,auto b){return (a>b?a:b);}
	il auto min(auto a,auto b){return (a<b?a:b);}
	il int gcd(int a,int b){
		if(!b) return a;
		return gcd(b,a%b);
	}
	il int lcm(int a,int b){
		return a/gcd(a,b)*b;
	}
	il void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
		if(!b) return x=1,y=0,void(0);
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t=x;
		x=y,y=t-a/b*x;
		return ;
	}
	mt19937 rnd(time(0));
}
using namespace yzqwq;

const int N=2e6+10;
int n,m,p;
int s[N];

il void solve(){
	for(re int i=1;i<N;++i)
	for(re int j=1;j*i<N;++j)
		++s[i*j];
	n=rd,m=rd,p=rd;
	int ans=0;
	for(re int k=1;k<=min(n,m);++k){
		int s1=0,s2=0;
		for(re int w=1;w*k<=n;++w) s1=(s1+s[w*k])%p;
		for(re int w=1;w*k<=m;++w) s2=(s2+s[w*k])%p;
		ans=(ans+s1*s2%p)%p;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return ;
}

signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int t=1;while(t--)
	solve();
	return 0;
}