P6810 「MCOI-02」Convex Hull 凸包 题解

分析

推式子题。

ans=i=1nj=1mτ(i)τ(j)τ(gcd(i,j))

对于 (i,j),若 k(i,j) 的因子,则 k 一定整除 i,j,所以有:

i=1nj=1mτ(i)τ(j)k|ik|j1

k 提到外面去枚举:

k=1min(n,m)k|ink|jmτ(i)τ(j)

发现每个 j 都有 τ(i),提出来:

k=1min(n,m)k|inτ(i)k|jmτ(j)

然后就有:

k=1min(n,m)(k|inτ(i))×(k|jmτ(j))

在枚举 k 的时候可以通过暴力求出来 k|inτ(i)k|jmτ(j)τ(x) 预处理就行了。复杂度 O(nlnn)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define re register
#define il inline
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define gc getchar()
#define rd read()
#define debug() puts("------------")

namespace yzqwq{
	il int read(){
		int x=0,f=1;char ch=gc;
		while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc;}
		while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc;
		return x*f;
	}
	il int qmi(int a,int b,int p){
		int ans=1;
		while(b){
			if(b&1) ans=ans*a%p;
			a=a*a%p,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	il auto max(auto a,auto b){return (a>b?a:b);}
	il auto min(auto a,auto b){return (a<b?a:b);}
	il int gcd(int a,int b){
		if(!b) return a;
		return gcd(b,a%b);
	}
	il int lcm(int a,int b){
		return a/gcd(a,b)*b;
	}
	il void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
		if(!b) return x=1,y=0,void(0);
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t=x;
		x=y,y=t-a/b*x;
		return ;
	}
	mt19937 rnd(time(0));
}
using namespace yzqwq;

const int N=2e6+10;
int n,m,p;
int s[N];

il void solve(){
	for(re int i=1;i<N;++i)
	for(re int j=1;j*i<N;++j)
		++s[i*j];
	n=rd,m=rd,p=rd;
	int ans=0;
	for(re int k=1;k<=min(n,m);++k){
		int s1=0,s2=0;
		for(re int w=1;w*k<=n;++w) s1=(s1+s[w*k])%p;
		for(re int w=1;w*k<=m;++w) s2=(s2+s[w*k])%p;
		ans=(ans+s1*s2%p)%p;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return ;
}

signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int t=1;while(t--)
	solve();
	return 0;
}
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