CF1353E K-periodic Garland 题解

分析

考虑 DP。

定义状态函数 $f_i$ 表示处理完前 $i$ 个字符且第 $i$ 个字符为 $1$ 时的最小代价。则对于 $i$，有两种情况：

1. $i$ 不是第一个 $1$，则上一个 $1$ 的位置必定为 $i-k$。
2. $i$ 是第一个 $1$，没有上一个 $1$。

得到转移方程：$f_i=min(f_{max(0,i-k)}+w(max(0,i-k),i-1),w(0,i-1))+[c_i\ne 1]$。其中 $w(l,r)$ 表示 $[l,r]$ 中 $1$ 个数量，也就是将区间全部变成 $0$ 的最小代价。

对于答案，枚举最后一个 $1$ 的位置，然后后面的 $1$ 全部变成 $0$。即 $ans=\underset{i=0}{\overset{n}{min}}{f}_i+w(i+1,n)$。

复杂度 $O(n)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define re register
#define il inline
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define gc getchar()
#define rd read()
#define debug() puts("------------")

namespace yzqwq{
	il int read(){
		int x=0,f=1;char ch=gc;
		while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc;}
		while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc;
		return x*f;
	}
	il int qmi(int a,int b,int p){
		int ans=1;
		while(b){
			if(b&1) ans=ans*a%p;
			a=a*a%p,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	il auto max(auto a,auto b){return (a>b?a:b);}
	il auto min(auto a,auto b){return (a<b?a:b);}
	il int gcd(int a,int b){
		if(!b) return a;
		return gcd(b,a%b);
	}
	il int lcm(int a,int b){
		return a/gcd(a,b)*b;
	}
	il void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
		if(!b) return x=1,y=0,void(0);
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t=x;
		x=y,y=t-a/b*x;
		return ;
	}
	mt19937 rnd(time(0));
}
using namespace yzqwq;

const int N=1e6+10;
int n,k;
int f[N],s[N];
char c[N];

il int w(int l,int r){
	if(l>r) return 0;
	return s[r]-s[l-1];
}

il void solve(){
	n=rd,k=rd,scanf("%s",c+1);
	for(re int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+c[i]-'0';
	int ans=1e9+7;
	for(re int i=1;i<=n;++i)
		f[i]=min(f[max(0*1ll,i-k)]+w(max(0*1ll,i-k)+1,i-1),f[0]+w(1,i-1))+(c[i]!='1');
	for(re int i=0;i<=n;++i)
		ans=min(ans,f[i]+w(i+1,n));
	printf("%lld\n",ans);
	return ;
}

signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int t=rd;while(t--)
	solve();
	return 0;
}