CF38E Let's Go Rolling! 题解

分析

考虑 DP。

因为 $n\le 3000$，我们可以直接枚举插针的位置。定义状态函数 $f_i$ 表示在从左往右第 $i$ 个小球的位置上插针的最小花费。

枚举该小球右边第一个插针的位置，则 $i$ 到 $j-1$ 的小球都会滚到小球 $i$ 的位置。代价为 $\sum _{k=i}^{j-1}{x}_k-x_i$。所以有转移方程：$f_i=min\{f_j+\sum _{k=i}^{j-1}{x}_k-x_i|i<j\le n+1\}+c_i$。

这是个 $O(n^3)$ 的 DP。但是不难发现 $\sum _{k=i}^{j-1}{x}_k-x_i$ 可以用前缀和优化掉。令 $s_i=\sum _{j=1}^i{x}_j-x_1$，则有 $\sum _{k=i}^{j-1}{x}_k-x_i=s_{j-1}-s_i-(j-1-i)\times (x_i-x_1)$。

因为最左边小球的位置必定会插针，所以答案为 $f_1$。复杂度 $O(n^2)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define re register
#define il inline
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
#define gc getchar()
#define rd read()
#define debug() puts("------------")

namespace yzqwq{
	il int read(){
		int x=0,f=1;char ch=gc;
		while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc;}
		while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc;
		return x*f;
	}
	il int qmi(int a,int b,int p){
		int ans=1;
		while(b){
			if(b&1) ans=ans*a%p;
			a=a*a%p,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	il auto max(auto a,auto b){return (a>b?a:b);}
	il auto min(auto a,auto b){return (a<b?a:b);}
	il int gcd(int a,int b){
		if(!b) return a;
		return gcd(b,a%b);
	}
	il int lcm(int a,int b){
		return a/gcd(a,b)*b;
	}
	il void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
		if(!b) return x=1,y=0,void(0);
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t=x;
		x=y,y=t-a/b*x;
		return ;
	}
	mt19937 rnd(time(0));
}
using namespace yzqwq;

const int N=3005;
int n;
struct node{
	int x,c,s;
}a[N];
int f[N],s[N];

il bool cmp(node a,node b){
	return a.x<b.x;
}
il int getsum(int l,int r){
	return s[r]-s[l]-(r-l)*a[l].s;
}
il void solve(){
	n=rd;
	for(re int i=1;i<=n;++i) a[i]={rd,rd};
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for(re int i=1;i<=n;++i) a[i].s=a[i].x-a[1].x,s[i]=a[i].s+s[i-1];
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[n+1]=0;
	for(re int i=n;i>=1;--i){
		for(re int lst=i+1;lst<=n+1;++lst){
			f[i]=min(f[i],f[lst]+getsum(i,lst-1)+a[i].c);
		}
	}
	printf("%lld\n",f[1]);
	return ;
}

signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int t=1;while(t--)
	solve();
	return 0;
}