AT_abc216_g [ABC216G] 01Sequence 题解

分析

一道差分约束题。

我们令 ${\mathit{sum}}_i$ 表示 $1$ 到 $i$ 中，$1$ 的数量，根据题意可得：

1. ${\mathit{sum}}_{l_i-1}+x_i\le {\mathit{sum}}_{r_i}$
2. ${\mathit{sum}}_{l+1}+(-1)\le {\mathit{sum}}_l$
3. ${\mathit{sum}}_l+0\le {\mathit{sum}}_{l+1}$

因为我们要尽可能地使 $1$ 的数量少，所以这是求不等式最小解。又因为边权有负，所以我们要跑 spfa 来求解，代码如下：

//sum[l-1]+x<=sum[r]
//sum[l]<=sum[r]
//sum[r]+(-1)<=sum[l]
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#pragma G++ optimize(2)
int n,m;
const int N=1e6+10;
int ne[N],e[N],h[N],w[N],idx;
inline void add(int a,int b,int c){
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
inline void read(int &x) {
	x=0;
	short flag=true;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	x*=flag;
}
int l,r,x;
int dis[N],vis[N];
inline void spfa(){
	memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
	queue<int> qu;
	qu.push(0),dis[0]=0,vis[0]=1;
	while(!qu.empty()){
		int now=qu.front();
		qu.pop();
		vis[now]=0;
		for(int i=h[now];~i;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(dis[j]<dis[now]+w[i]){
				dis[j]=dis[now]+w[i];
				if(!vis[j]){
					vis[j]=1;
					qu.push(j);
				}
			}
		}
	}
}
signed main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	read(n),read(m);
	for(register int i=1;i<=m;i++){
		read(l),read(r),read(x);
		add(l-1,r,x);
	}
	for(register int i=0;i<n;i++){
		add(i,i+1,0);
		add(i+1,i,-1);
	}
	spfa();
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld ",dis[i]-dis[i-1]);//前缀和
	}
	return 0;
}

很显然，$1\le n,m\le 2\times {10}^5$，超时了。

我们考虑优化方法，可以使用正难则反的思想。如果我们我们令 ${{\mathit{sum}}^{\prime }}_i$ 表示 表示 $1$ 到 $i$ 中，$0$ 的数量，那么再次根据题意就可以把上面的式子变成：

1. ${{\mathit{sum}}^{\prime }}_{r_i}\le {{\mathit{sum}}^{\prime }}_{l_i-1}+(r-l+1-x)$
2. ${{\mathit{sum}}^{\prime }}_{l+1}\le {{\mathit{sum}}^{\prime }}_l+1$
3. ${{\mathit{sum}}^{\prime }}_l\le {{\mathit{sum}}^{\prime }}_{l+1}+0$

很显然，在我们需要 $1$ 的数量最少时，该不等式方程组的解就需要最大，而所有的权值又是非负的，所以可以用 dijkstra 求出最短路。注意，求得的解是关于 ${{\mathit{sum}}^{\prime }}_i$ 的，所以我们需要进行取反。

代码

//sum[r]<=sum[l-1]+r-l+1-x
//sum[l]<=sum[l-1]+1
//sum[l-1]<=sum[l]+0
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#pragma G++ optimize(2)
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
int n,m;
const int N=1e6+10;
int ne[N],e[N],h[N],w[N],idx;
inline void add(int a,int b,int c){
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
inline void read(int &x) {
	x=0;
	short flag=true;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	x*=flag;
}
int l,r,x;
int dis[N],vis[N];
//inline void spfa() TLE
//	memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
//	queue<int> qu;
//	qu.push(0),dis[0]=0,vis[0]=1;
//	while(!qu.empty()){
//		int now=qu.front();
//		qu.pop();
//		vis[now]=0;
//		for(int i=h[now];~i;i=ne[i]){
//			int j=e[i];
//			if(dis[j]<dis[now]+w[i]){
//				dis[j]=dis[now]+w[i];
//				if(!vis[j]){
//					vis[j]=1;
//					qu.push(j);
//				}
//			}
//		}
//	}
//}
void dj(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > qu;
	dis[0]=0,qu.push({dis[0],0});
	while(!qu.empty()){
		PII now=qu.top();qu.pop();
		if(vis[now.y]) continue;
		vis[now.y]=1;
		for(int i=h[now.y];~i;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(dis[j]>now.x+w[i]){
				dis[j]=now.x+w[i];
				qu.push({dis[j],j});
			}
		}
	}
}
signed main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	read(n),read(m);
	for(register int i=1;i<=m;i++){
		read(l),read(r),read(x);
        //add(l-1,r,x);
		add(l-1,r,r-l+1-x);
	}
	for(register int i=0;i<n;i++){
		//add(i,i+1,0);
		//add(i+1,i,-1);
        add(i,i+1,1);
		add(i+1,i,0);
	}
    //spfa();
	dj();
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld ",(dis[i]-dis[i-1]==1?0:1));//取反，也可以用位运算
	}
	return 0;
}