AT_abc237_f [ABC237F] |LIS| = 3 题解

分析

通过题目我们可以发现，题目里唯一难受的限制就是最长增长部分的长度。我们不妨试试将其放进状态函数里。根据 LIS 的性质，若一个长度为 $3$ 的子序列 $a_1,a_2,a_3$ 满足 LIS，则必有 $a_1<a_2<a_3$。我们定义 ${\mathit{f}}_{i,x,y,z}$ 表示在前 $i$ 个数中，长度为 $1$ 的 LIS 的最小 $a_1$ 值为 $x$，长度为 $2$ 的 LIS 的最小 $a_2$ 值为 $y$，长度为 $3$ 的 LIS 的最小 $a_3$ 值为 $z$（这里的 $a_1,a_2,a_3$ 相互独立）。

考虑从 $i$ 扩散到 $i+1$，有转移方程：

$${\mathit{f}}_{i+1,x,y,z}=\{\begin{array}{ll}{\mathit{f}}_{i+1,x,y,z}+{\mathit{f}}_{i,x^{\prime },y,z}& 1\le x\le x^{\prime }\\ {\mathit{f}}_{i+1,x,y,z}+{\mathit{f}}_{i,x,y^{\prime },z}& 1\le y\le y^{\prime }\\ {\mathit{f}}_{i+1,x,y,z}+{\mathit{f}}_{i,x,y,z^{\prime }}& 1\le z\le z^{\prime }\end{array}$$

这里的 $x,y,z$ 也是独立的，如果不理解，可以看看具体的代码。

我们根据性质 $x<y<z$，可以得到初始化：${\mathit{f}}_{0,m+1,m+2,m+3}=1$。因为在 $i=0$ 的时候，是可取 $1$ 到 $m$ 的所有。

最后的答案，就是所有的满足 $x<y<z$ 的 ${\mathit{f}}_{n,x,y,z}$ 的和。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m;
const int N=1005,M=15;
const int p=998244353;
int f[N][M][M][M];
void solve(){
	cin>>n>>m;
	f[0][m+1][m+2][m+3]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int now_x=1;now_x<=m+3;now_x++)
			for(int now_y=now_x+1;now_y<=m+3;now_y++)
				for(int now_z=now_y+1;now_z<=m+3;now_z++)
					for(int now=1;now<=m;now++){
						if(1<=now&&now<=now_x) f[i+1][now][now_y][now_z]=(f[i+1][now][now_y][now_z]+f[i][now_x][now_y][now_z])%p;
						else if(now_x<now&&now<=now_y) f[i+1][now_x][now][now_z]=(f[i+1][now_x][now][now_z]+f[i][now_x][now_y][now_z])%p;
						else if(now_y<now&&now<=now_z) f[i+1][now_x][now_y][now]=(f[i+1][now_x][now_y][now]+f[i][now_x][now_y][now_z])%p;
	int ans=0;
	for(int x=1;x<=m;x++)
		for(int y=x+1;y<=m;y++)
			for(int z=y+1;z<=m;z++)
				ans=(ans+f[n][x][y][z])%p;
	cout<<ans;return ;
}
signed main(){
	solve();return 0;
}