乒乓球与盒子

求将N个球放入M个盒子中的方案数。

 

1、球相同，盒子不同，盒子不为空。

相当于每两个小球之间有一个空隙，共有n-1个，每个空隙只能放一个隔板，给出m-1个隔板，将小球分成m份，就是从n-1各空隙中选m-1个，方案数为C(n-1,m-1)。

 

2、球相同，盒子不同，盒子可以为空。

再加入m个小球变成不允许为空，那么就和1情况一样了，方案数为C(n+m-1,m-1)。

 

3、球相同，盒子相同，盒子不为空。

这样就成了整数划分问题，用动态规划：f[i][j]表示i这个数划分为j份的方案数。

对于f[i][j]，当划分的数中有1时，f[i][j]=f[i-1][j-1]；

没有1时，就让所有的数都减1，f[i][j]=f[i-j][j]。

综上：f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]

 

4、球相同，盒子相同，盒子可以为空。

方案数为Σf[n][j](1<=j<=m)。