交换
【题目描述】
给定一个{0, 1, 2, 3, … , n - 1}的排列 p。一个{0, 1, 2 , … , n - 2}的排列q被认为是优美的排列,当且仅当q满足下列条件:
对排列s = {0, 1, 2, 3, ..., n - 1}进行n – 1次交换。
- 交换s[q0],s[q0 + 1]
- 交换s[q1],s[q1 + 1]
…
最后能使得排列s = p.
问有多少个优美的排列,答案对10^9+7取模。
【输入格式】
第一行一个正整数n.
第二行n个整数代表排列p.
【输出格式】
仅一行表示答案。
【样例输入】
3
1 2 0
【样例输出】
1
【样例解释】
q = {0,1} {0,1,2} ->{1,0,2} -> {1, 2, 0}
q = {1,0} {0,1,2} ->{0,2,1} -> {2, 0, 1}
【数据范围】
30%: n <= 10
100%: n <= 50
/* 这个题的题解很难懂 我们反着考虑,求出把p数列变成有序的方案数,那么对于最后一次交换,如果交换(i,i+1),那么交换后i之前的数一定<=i,i之后的数一定>=i,所以左边的数是一段连续的,右边也是。由于左右互不干涉,所以这就变成了一个子问题,可以用记忆化搜索解决。 设dp[len][low]代表长度为len,H是{low,low+1,…,low+n-1}的排列且H是p的子序列,在H上优美序列的个数。 我们枚举交换哪两个相邻元素(k,k+1), 然后判断 k 前面的所有数是否都小于后面的所有数,如果是则进行转移,dp[len][low]+=dp[k][low]*dp[n–k][low+k]*C(n–2, n–1-k)。即前面的 k 个元素与后面的 n - k 个元素是两个独立的子问题,前面是{low ... low + k - 1}的排列,后面是{low+k ...low+n-1}的排列,C(n - 2, n - 1 - k)代表的是在交换(k, k + 1)前左右两边还分别要进行n-2 次交换,而每次交换左边与交换右边是不同方案,这相当于n-2位置选择 n-1-k 个位置填入,故还需要乘上 C(n-2,n-1-k)。 */ #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #define N 60 #define lon long long using namespace std; const int mod=(int)(1e9)+7; int n,p[N],dp[N][N],c[N][N]; int dfs(int len,int low){ if(dp[len][low]!=-1)return dp[len][low]; if(len==1)return 1; int t[N]={0},m=0,tot=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(p[i]>=low&&p[i]<low+len) t[++m]=p[i]; for(int i=1;i<m;i++){ swap(t[i],t[i+1]); int j,k; for(j=1;j<=i;j++) if(t[j]>=low+i)break; for(k=i+1;k<=m;k++) if(t[k]<low+i)break; if(j>i&&k>m){ lon tmp=(lon)(dfs(i,low)*(lon)dfs(m-i,low+i))%mod; tmp=tmp*c[m-2][i-1]%mod; tot=(tot+(int)tmp)%mod; } swap(t[i],t[i+1]); } dp[len][low]=tot; return tot; } int main(){ //freopen("swap.in","r",stdin); //freopen("swap.out","w",stdout); memset(dp,-1,sizeof(dp)); scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]); for(int i=0;i<=n;i++){ c[i][0]=1; for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod; } dfs(n,0); if(dp[n][0]!=-1)printf("%d",dp[n][0]); else printf("0"); return 0; }