最小的N个和（codevs 1245）
题目描述 Description
有两个长度为 N 的序列 A 和 B，在 A 和 B 中各任取一个数可以得到 N^2 个和，求这N^2 个和中最小的 N个。
输入描述 Input Description
第一行输入一个正整数N；第二行N个整数Ai 且Ai≤10^9；第三行N个整数Bi，
且Bi≤10^9
输出描述 Output Description
输出仅一行，包含 n 个整数，从小到大输出这 N个最小的和，相邻数字之间用
空格隔开。
样例输入 Sample Input
5
1 3 2 4 5
6 3 4 1 7
样例输出 Sample Output
2 3 4 4 5
最暴力的方法：我们可以把所有情况都算出来，再排序，很显然，空间和时间都会爆。
网上的思路：（其实不是很明白这样算出来的i*j-1的前n个解就是最优解）
想办法把一些一定不可能的状态给消除掉。
首先还是给A，B排序，同样还是这个表：
| B\A | 1 | 2 | … | i | … | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| … | ||||||
| i | ||||||
| … | ||||||
| n |
观察到，对于(i,j)这个点，比它小的元素至少有i×j−1个。
由于我们要求前N小的，所以满足要求的点至少要满足i×j−1<n即i×j≤n。
这样我们可以把点的个数缩小至
⌊n1⌋+⌊n2⌋+...+⌊ni⌋+...+⌊nn⌋=O(n∑i=1n1i)=O(nlogn)
时间复杂度：O(nlog2n)
空间复杂度：O(nlogn)
代码：实测172ms
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #define M 100010 #define N 3000010 using namespace std; int a[M],b[M],c[M]; int main() { int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]); sort(a+1,a+n+1); sort(b+1,b+n+1); int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;i*j<=n;j++) c[++cnt]=a[i]+b[j]; sort(c+1,c+cnt+1); for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",c[i]); return 0; }
另一种方法：堆排
思路：
设两个数组a,b
和一个堆tree {int aa,bb,s}
堆元素aa是数组a中的位置。bb是数组b中的位置。s是该两个数的和。
将a,b从小到大排序。
先把a的每一个元素和b的第一个元素配对，放入堆中，则刚好从小到大。
然后反复操作以下步骤：
取出堆的第一组元素，输出s。
然后第一组元素的bb值加1，即b数组指针向后移一位，更新s值。
进行堆操作，使hp又成为一个小根堆。
直到输出了n次s
例：
a[6]:{1 3 2 4 5}
b[6]:{6 3 4 1 7}
排序：
a[6]:{1 2 3 4 5}
b[6]:{1 3 4 6 7}
以b数组的第一个数为基准，a的每一个数和这个数相加，加入hp
tree[6]:{
{aa=1;bb=1;s=2};
{aa=2;bb=1;s=3};
{aa=3;bb=1;s=4};
{aa=4;bb=1;s=5};
{aa=5;bb=1;s=6};
};
将第一组元素取出，输出2 。
改为{aa=1;bb=2;s=4};
tree[6]:{
{aa=1;bb=2;s=4};
{aa=2;bb=1;s=3};
{aa=3;bb=1;s=4};
{aa=4;bb=1;s=5};
{aa=5;bb=1;s=6};
};
此时，要进行堆操作，
tree[6]:{
{aa=2;bb=1;s=3};
{aa=1;bb=2;s=4};
{aa=3;bb=1;s=4};
{aa=4;bb=1;s=5};
{aa=5;bb=1;s=6};
};
将第一组元素取出，输出3 。
......
算法实现：
#include <iostream> #include <algorithm> #include<cstdio> #define M 100001 using namespace std; struct node { int s,aa,bb; };node tree[(M<<1)+1]; int a[M],b[M]; int n,len,kk; int main() { freopen("jh.in","r",stdin); cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i]; sort(a+1,a+n+1); sort(b+1,b+n+1); for(int i=1;i<=n;i++) { tree[i].aa=i; tree[i].bb=1; tree[i].s=a[i]+b[1]; } len=n; while(1) { cout<<tree[1].s<<" "; kk++; tree[1].bb++; tree[1].s=a[tree[1].aa]+b[tree[1].bb]; if(tree[1].bb>n)tree[1].s=1e9; int q=1; while(1) { int q1=q<<1,q2=q1+1; if(q1>len)break; if(q2<=len&&tree[q2].s<tree[q1].s)q1=q2; if(tree[q].s<=tree[q1].s)break; else swap(tree[q],tree[q1]); q=q1; } if(kk==n)break; } return 0; }
