算法笔记：递推

递推最通俗的理解就是数列，递推和数列的关系就好比算法和数据结构的关系，数列有点
像数据结构中的线性表(可以是顺序表，也可以是链表，一般情况下是顺序表)，而递推就是一
个循环或者迭代的枚举过程。
递推本质上是数学问题。

一、斐波那契数列
斐波那契数(通常用F(n)表示)形成的序列称为斐波那契数列。该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:
F(0) = 0 , F(1)=1
F(n) =F(n - 1)+F(n- 2)，其中n>1，给定n(0 ≤n≤30)，请计算F(n)。
拿到这个题目，我们首先来看题目范围，最多不超过30，那是因为斐波那契数的增长速度很快，是指数级别的。所以如果n很大，就会超过c语言 中32位整型的范围。这是一个最基础的递推题，递推公式都已经告诉你了，我们要做的就是利用一个循环来实现这个递推。
我们只需要用一个F[31]数组，初始化好F[0]和F[1]，然后按照给定的公式循环计算就可以了。写成伪代码像这样:
int fib(int n) {
int i;// (1)
int F[31] ={0, 1};// (2)
for(i = 2; i <= n; ++i) { // (3)
F[i] = F[i-1] + F[i-2]; // (4)
return F[n];// (5)
(1)首先定义一个循环变量;
(2) 再定义一个数组记录斐波那契数列的第n项，并且初始化第0项和第1项。
(3)然后一个for 循环，从第2项开始;
(4)利用递推公式逐步计算每一项的值;
(5)最后返回第n项即可。

二、斐波那契数列变形
给定一个n(1 ≤n≤ 45)代表总共有n阶楼梯，一开始在第0阶，每次可以爬1或者2个台阶，问总共有多少种不同的方法可以爬到楼顶。
我们定义一个数组f[46]，其中fi]表示从第0阶爬到第i阶的方案数。由于每次可以爬1或者2个台阶，所以对于第i阶楼梯来说，所以要么是从第i-1阶爬过来的，要么是从i-2阶爬过来的，于是得出一个递推公式:f[i] = f[i-1] + f[i-2]。
我们发现这个就是斐波那契数列，你可以叫它递推公式，也可以叫它状态转移方程。这里的fi就是状态的概念，从一个状态到另一个状态就叫状态转移。
当然我们还要考虑初始状态，f[0]代表从第0阶到第0阶的方案数，当然就是1啦，f[1]代表从第0阶到第1阶的方案数，由于只能走1阶，所以方案数也是1。
代码就不再累述了。

总结：1.从最初开始推导
2.定义一个数组，保存每一步得到的结果
3.推导出：当前要计算的结果，和上一个结果（或者前几个结果）的关系。
具体步骤：
1.定义数组f
2.定义f[1]...;
3.for循环从前面定义的下一个开始，到我们要推导的结果数。
4.找出f[i]和前一个（f[i-1],甚至更多）的关系（递推公式）
5.循环结束，输出结果数组的所求值（比如f[n]);