做题笔记 1

1. \(\color{#52C41A}\texttt{CF627B Factory Repairs:}\)【线段树】发现修改时增加的值一定为正数，所以如果增加到超过 \(a,b\) 就直接替换，用两个线段树维护对于 \(a,b\) 的区间和即可。

2. \(\color{#52C41A}\texttt{CF91B Queue:}\)【线段树】先离散化，用线段树维护权值区间的最大下标，记得开 \(4\) 倍空间。

3. \(\color{#52C41A}\texttt{*CF914D Bash and a Tough Math Puzzle:}\)题目就相当于【线段树】【剪枝】求 \([l,r]\) 中不整除 \(x\) 的个数，如果大于 \(1\) 则是 NO，否则是 YES。考虑用线段树维护 \(\gcd\)，区间修改直接暴力修改，如果碰到 \(x\mid t_k\) 的就不再修改，并加上一个剪枝：如果当前不整除 \(x\) 的个数已经大于 \(1\) 了，就直接 return。记得把 cin 换成 scanf。

4. \(\color{#3498DB}\texttt{CF438D The Child and Sequence:}\)【线段树】用线段树维护区间和和区间 \(\max\)，单点修改和区间和查询简单，区间取模就暴力修改，如果碰到一个区间的 \(\max\) 小于 \(x\) 就不再修改。

5. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*CF510D Fox And Jumping:}\)【01背包】【map】题目等价于求选出 \(\gcd=1\) 的数的最小代价，考虑用 01 背包，但数组空间不够，由于很多位置可能没有用到，可以直接用 map 来节省空间。

6. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*P4997 不围棋:}\)【模拟】不妨将 “气” 的定义变成所有棋子周边 . 个数之和，这样直接模拟即可。

7. \(\color{#52C41A}\texttt{P1558 色板游戏:}\)【线段树】【状压】发现颜色数 \(\le 30\)，考虑直接在线段树上记录每个区间颜色的状况：有颜色 \(x\) 的格子 \(t_k\) 的二进制表示下第 \(x\) 位就为一，合并则是通过按位或。由于1<<1=2，所以一开始的初值应该是 \(2\)。

8. \(\color{#3498DB}\texttt{P1967 货车运输:}\)【LCA】【最小生成树】要求两点之间路径上边的最小值的最大值，可以用 LCA。由于这不是树，于是先用 kruskal 求一颗最大生成树，然后在 dfs 记录 anc 与 anc 的路径上边的最小值，记得如果两点不连通就输出 -1。

9. \(\color{#3498DB}\texttt{*P3398 仓鼠找 sugar:}\)【LCA】如果 \(lca(a,b)=lca(c,d)\) 则一定会相遇，又发现只要 \(lca(a,b)\) 在 \(c,d\) 路径上或 \(lca(c,d)\) 在 \(a,b\) 路线上便可相遇，问题变成了判断 \(x\) 是否在 \(y,z\) 路径上。这里需要用到一个性质：若 \(x\) 在 \(y,z\) 路径上，则 \(dis_{x,y}+dis_{x,z}=dis_{y,z}\)，用这个判断即可。

10. \(\color{#3498DB}\texttt{*ABC258D Triangle:}\)【bitset】暴力枚举 \(i,j,k\)，复杂度为 \(O(n^3)\)，用 bitset 来存储 \(s_{i,j}\)，依次枚举 \(i,j\)，统计与它们都相连的点（\(s_i\&s_j\) 中仍为 \(1\) 的点）的个数，这一点用 bitset 的 count 函数来优化，时间复杂度为 \(O(n^2\frac{n}{w})\)。

11. \(\color{#52C41A}\texttt{*CF877D Olya and Energy Drinks:}\)【bfs】【剪枝】基础的 bfs会 TLE，加一个剪枝：如果在结点入队时发现它等于终点，那么直接输出即可，这样可以节省下一次循环的时间。

12. \(\color{#3498DB}\texttt{*P3469 BLO-Blockade:}\)【割点】【tarjan】如果一个点不是割点，那么答案显然就是 \(2\times (n-1)\)（应直接赋值）；否则，若删去这个割点，则图会分为几个连通块，每个连通块对答案的贡献为 \(siz\times (n-siz)\)，其中 \(dfn\) 小于此点的连通块 \(siz\) 可以在遍历时顺便求出，上方的那个连通块的大小需要计算：\(n-\sum siz-1\)。

13. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*SP2878 FKnights of the Round Table:}\)【tarjan】【二分图】为方便先建补图，一个会议其实就是一个奇环。根据点双的性质，在一个点双中，但凡有一个奇环，所有的点都在一个奇环上，所以先把每个点双求出来，判断是/否有奇环就看其不是/是二分图（黑白染色）。多测要清空。

14. \(\color{#52C41A}\texttt{P4667 Switch the Lamp On:}\)【01bfs】对每个点进行 01bfs：对于每个点，可以走向左上、右上、左下、右下，分别枚举对应的电子元件看是否需要转动。因为是对点进行操作，所以 \(n,m\) 在输入后都得先加一。

15. \(\color{#3498DB}\texttt{*CF1006F Xor-Paths:}\)【折半搜索】暴力枚举时间复杂度是 \(O(2^{n+m})\)，会超时，由于 \(n+m\) 只有 \(40\)，考虑折半搜索。以左下到右上的对角线为分界（也就是 \(x+y=\frac{n+m}{2}+1\)，两个 dfs 分别从 \((1,1),(n,m)\) 出发，第一个用 \(p_{i,j,s}\) 表示到 \(x,y\) 异或和为 \(s\) 的路径数，第二个则调用其累加答案 \(p_{x,y,s\oplus k}\)，注意对角线上的格子只能算一次。

16. \(\color{#3498DB}\texttt{*CF1038D Slime:}\)【分类讨论】记 \(s=\sum_{i=1}^n\left\vert a_i\right\vert\)，并将 \(a\) 从小到大排序。若 \(a\) 全为正，则以 \(a_1\) 减去 \(a_2,a_3...a_{n-1}\)，再用 \(a_n\) 减去 \(a_1\)，化简得：\(s-2a_1\)；若 \(a\) 全为负，则用 \(a_n\) 减去除 \(a_1,a_2...a_{n-1}\)，化简得：\(s+2a_n\)；若 \(a\) 有正有负，就先把 \(a_1\) 减去正的 \(a\) 得 \(s'\)，\(a_n\) 减去所有负的 \(a\) 得 \(s''\)，再用 \(s''-s'\)，化简得：\(s\)。要特判一下 \(n=1\) 的情况。

17. \(\color{#3498DB}\texttt{*P4281 紧急集合:}\)【LCA】先求出 \(lca(x,y),lca(y,x),lca(x,z)\)，易得这三个点中有且仅有两个点是相同的，最佳集合地点就是与众不同的那一点 \(res\)，求出后直接算 \(x,y,z\) 与 目标点的距离即可。

18. \(\color{#3498DB}\texttt{P2860 Redundant Paths G:}\)【边双连通分量分量】【tarjan】【缩点】一个边双连通分量肯定是满足题目条件的，就不用管它了，把它看作一个点，这样把每个边双连通分量都缩成点后，整幅图就变成了一棵树，则答案是 \(\left\lceil\dfrac{\text{这棵树的叶子节点个数(边为 1)}}{2}\right\rceil\)。

19. \(\color{#3498DB}\texttt{P3567 KUR-Couriers:}\)【可持久化线段树】用可持久化线段树来做，维护 \(n\) 棵表示 \([1,i]\) 范围内的权值线段树，对于出现次数严格大于一半这一要求，查询时额外记录一个区间个数 \(len\)，如果左儿子大于 \(len/2\) 则调用左儿子，若右儿子大于则调用右儿子，否则直接返回 \(0\)。输入记得优化。

20. \(\color{#3498DB}\texttt{*CF383C Propagating tree:}\)【树状数组】【差分】首先把树形转化为区间，可以想到 dfs 序，而看到区间修改、单点查询，考虑用树状数组维护差分数组。如果改变的是深度为奇数的点，就将差分数组加 \(v\)，否则就减 \(v\)，相当于维护奇数层和偶数层的差。查询的时候也分深度奇偶性，如果是奇数就加上 \(1-x\) 的差分和，否则减去。

21. \(\color{#3498DB}\texttt{P2724 联系 Contact:}\)【map】先创建一个结构体包括字符串本身、出现次数，用 map 记录每个长度在 \(A\) 到 \(B\) 之间的字符串的编号 \(ts\)，对应存在结构体中。最后结构体排个序就行了，注意输出格式。

22. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*P2572 序列操作:}\)【线段树】用两个标记分别维护推平、取反，注意推平时要清空取反数组，pushdown 时是先推平、后取反，如果不是单标记的写法，一定注意可能同时存在推平与取反标记。

23. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*CF690A3 Collective Mindsets (hard):}\)【数学】要想一定有一个人猜中的话，那么这 \(n\) 个人必须对某个量分别猜测 \(1\) 到 \(n\) 的每一个数，不难想到 \(\%n+1\)。如果单单是猜一个人的话是无法猜出来的，往总体的方向去想，对于编号为 \(i\) 的人，猜测所有人头顶的数模 \(n\) 余 \(i\)，并用看到的所有数字之和来求出自己即可。

24. \(\color{#3498DB}\texttt{*CF690A2 Collective Mindsets (medium):}\)和 easy 【数学】不同的是，海盗只要能存活下来可以不拿金币。显然\(n=1,2\) 时不用金币就可以存活；\(n=3\) 所以得给 \(2/3\) 一个金币，因为 \(2,3\) 即使投他也能存活下来，；\(n=4\) 可以没有金币因为 \(2\) 一定会投他；\(n=5\) 时得两个金币：给 \(1/2/3\) 中的两个人；\(n=6\) 时得一个金币：\(5\) 会投，给 \(1/2/3\) 中的一个人……以此类推，\(n\) 为奇数，\(ans = \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\)；\(n\) 为偶数时，\(ans = (n-2^{\left\lfloor\log n\right\rfloor})\div2\)。

25. \(\color{#3498DB}\texttt{*CF1775E The Human Equation:}\)【差分】把 \(b\) 看作 \(a\) 的差分数组，每一次操作就相当于在 \(b\) 上 \(+1/-1\)，由于 \(a\) 全为 \(0\) 的充要条件为 \(b\) 全为 \(0\)，所以答案为 \(b\) 数组中的极差（记得处理只有正或只有负的情况）

26. \(\color{#52C41A}\texttt{P5248 快速多项式变换(FPT):}\)【进制】【数学】关键是发现其实 \(f(m)\) 就是个 \(m\) 进制数，直接分解即可。

27. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*P4801: 饥饿的狐狸}\)【贪心】【排序】先把数组排个序。最大值：左右左右地跳，每次和喝不喝水比较一下，记得从前往后和从后往前的取 \(\max\)；最小值：记 \(a_t<W<a_{t+1}\)，若 \(t=0\)，\(ans=a_n-W\)，若 \(t=n\)，\(ans=W-a_1\)，否则先从 \(a_t\) 往前吃，再喝口水，从 \(a_{t+1}\) 往后吃，\(ans\) 化简完为 \(a_n-a_1\)。

28. \(\color{#52C41A}\texttt{P4868 Preprefix sum:}\)【树状数组】\(ss_i=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^ia_j=\sum_{i=1}^k(k-i+1)a_i=(k+1)\sum_{i=1}^ka_i-\sum_{i=1}^ki\times a_i\)，直接维护 \(a_i\) 和 \(a_i\times i\) 的树状数组即可。

29. \(\color{#52C41A}\texttt{P1525 关押罪犯:}\)【二分】【二分图】先二分影响值 \(x\)，接着二分图染色（忽略 \(\le x\) 的边）判断即可。

30. \(\color{#3498DB}\texttt{P4053 建筑抢修:}\)【贪心】【优先队列】反悔贪心，先按 \(T_2\)，遍历 \(1-n\)，如果当前修理总时长小于 \(T_2\) 直接加入大根堆，否则如果前面时长最长比当前 \(T_1\) 大则替换。

31. \(\color{#3498DB}\texttt{*CF1147C Thanos Nim:}\)【博弈论】如果最小堆的数量超过 \(n\div 2\) 则 Bob 赢，因为 Alice 第一次会取到最小堆，最小堆的数量变得小于等于 \(n\div 2\)，Bob 又可以把最小堆的数量变成超过 \(n\div 2\)，以此类推，Alice 每次取时最小堆的数量都会大于 \(n\div 2\)，当最小的 \(a_i=1\) 时，Bob 可以一次性把最小堆取完，这时加上 Alice 取的，总的堆数便小于 \(n\div 2\)。否则是 Alice 赢。

32. \(\color{#3498DB}\texttt{P2756 飞行员配对方案问题:}\)【二分图】二分图匹配的板子，用匈牙利算法就能过了，记得处理下编号。

33. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*P6124: Binary vs Decimal}\)【位运算】【高精度】注意到若 \(n\) 满足条件，则其所有的后缀都满足条件，那么就从 \(0,1\) 开始按位 bfs，每次记当前维护为 \(k\)，枚举所有位数为 \(len\) 的 \(n\)，判断变成 \(k\) 位数是否成立：变成 \(k\) 位数是加上 \(10^k\)，其二进制末尾有 \(k\) 个 \(0\)，则必须原来的 \(n\) 的 \(len+1\) 到 \(k\) 位均为 \(0\)。高精度可以用 python。

34. \(\color{#3498DB}\texttt{UVA10820 交表:}\)【数论】题目相当于求有多少对 \((x,y)\) 满足 \(1\le x, y\le n\) 且 \(\gcd(x,y)=1\)，只有 \((x,y)=(1,1)\) 时 \(x=y\)，所以设 \(x>y\)，枚举 \(x\)，\(ans\) 为 \(\sum_{i=2}^n\varphi(i)\)，用线性筛筛出 \(\varphi(i)\)，最终的答案为 \(2ans+1\)。

35. \(\color{#52C41A}\texttt{*UVA11181 条件概率：}\)【概率】【DP】记第 \(i\) 个人买东西为 \(E_i\)，恰有 \(r\) 人买东西为 \(E\)，\(P(E_i|E)=P(E_i\cap E)/P(E)\)。记 \(dp_{i,j}\) 为前 \(i\) 个人买 \(j\) 个东西的概率，\(dp_{0,0}=0\) 且 \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}\times (1-p_i)+dp_{i-1,j-1}\times p_i\)，\(P(E)=dp_{n,r}\)，对于 \(P(E_i\cap E)\)，可以把 \(i\) 丢掉后 \(dp\)，最终为 \(dp_{n,r-1}\times p_i\)。

36. \(\color{#52C41A}\texttt{P3258 松鼠的新家：}\)【树上差分】把所有 \(a_i\) 和 \(a_{i+1}\) 做树上差分，这样 \(a_2-a_{n-1}\) 会被算两次，\(a_n\) 也多算了一次，计算完再把 \(a_2-a_n\) 所在节点减 \(1\) 即可。

37. \(\color{#52C41A}\texttt{UVA12034 比赛名次：}\)【DP】【组合数】令 \(f_i\) 为 \(i\) 个人时的情况个数，\(f_i=\sum_{j=1}^if_{i-j}\times C_i^j\)，\(C_n^m\) 可以用杨辉三角预处理，由于是多组数据，所以要先把所有 \(f_i\) 算出来。

38. \(\color{#52C41A}\texttt{*ABC102D Equal Cut：}\)【前缀和】【双指针】先统计一下前缀和 \(s_i\)，对于断点 \(i,j,k\) 枚举 \(j\)，\(i,k\) 分别为 \(a_1-a_{j-1},a_{j+1}-a_n\) 中最“平衡”的点，由于 \(s_i\) 是单调上升的，跑一遍“三指针”即可。

39. \(\color{#3498DB}\texttt{*UVA11021 Tribles:}\)【概率】【DP】令 \(f_i\) 为初始只有一只麻球、前 \(i\) 天所有麻球都死亡的概率，\(f_0=0,f_1=p_0\)。若这只麻球生了 \(j\) 只后代，他们在 \(i-1\) 天全部死亡，由于这些后代的死亡是独立的，所以 \(f_i=\sum_{i=0}^{n-1}p_i\times (f_{i-1})^i\)，最终答案为 \((f_m)^k\)。

40. \(\color{#3498DB}\texttt{*UVA1638 杆子的排列:}\)【DP】记 \(dp_{i,j,k}\) 为考虑前 \(i\) 个杆子，从左边可以看到 \(j\) 个杆子、右边可以看到 \(k\) 个杆子的方案数。考虑枚举的杆子高度是从高到低，这样就不用考虑把之前的杆子遮住，那么初始化为 \(dp_{1,1,1}=1\)，转移需要考虑放最左边、放最右边、夹在中间：\(dp_{i,j,k}=dp_{i-1,j,k}\times(i-2)+dp_{i-1,j-1,k}+dp_{i-1,j,k-1}\)。

41. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*UVA11722 Joining with Friend:}\)【平面几何】【分类讨论】详见这里（题解）。

42. \(\color{#3498DB}\texttt{*P1792 种树:}\)【贪心】【链表】【优先队列】如果直接贪心没有正确性保障，需要添加返回机制：从大到小选 \(x\)（用优先队列），当选了 \(x\) 后，把 \(x\) 左边和右边的数删掉（用链表），并将 \(x\) 的值换成两者之和减其权值，这样如果之后发现选 \(x\) 两边更优，就会选当前的 \(x\)，也就相当于把 \(x\) 换成了其左边和其右边。

43. \(\color{#52C41A}\texttt{CF23B Party:}\)【构造】当 \(n\le2\) 时，\(ans=0\)；当 \(n>2\) 时，可以构造 \(2\) 个人有 \(n\div2 -1\) 个朋友，\(n-2\) 个人都有 \(n\div2\) 个朋友，那 \(2\) 人和 \(n-2\) 人都是朋友（各 \(n\div2-1\) 个），所以答案为 \(n-2\)。

44. \(\color{#3498DB}\texttt{*AGC058B Adjacent Chmax:}\)【DP】令 \(f_i\) 为前 \(i\) 项 的方案数，对于 \(x\)，暴力找到它可能改变的最大区间 \([l,r]\)，这个区间的 \(a_j\) 都 \(\le a_x\)，而对于每个 \(l\le j\le r\)，染成 \(a_x\) 会使它的方案数增加 \(f_{j-1}\)（我变前面不变/我不变前面变），依次累加即可。

45. \(\color{#3498DB}\texttt{*P1365 WJMZBMR打osu!:}\)【数学期望】【DP】令 \(f_i\) 为前 \(i\) 个字符得分的期望，\(cnt\) 为当前的字符以前 \(x\) 的个数的期望。若 \(s_i=x\)，则 \(f_i=f_{i-1}+(cnt+1)^2-cnt^2=f_{i-1}+2\times cnt+1,cnt=cnt+1\)；若 \(s_i=o\)，则 \(f_i=f_{i-1},cnt=0\)；若 \(s_i=?\)，则 \(f_i=f_{i-1}+(2\times cnt+1)\div2=f_{i-1}+cnt+0.5,cnt=(cnt+1)\div2\)（\(cnt\) 也要更新是因为当前有可能变为 \(cnt+1\) 也有可能变为 \(0\)）。

46. \(\color{#3498DB}\texttt{P3620 数据备份:}\)【贪心】【链表】【优先队列】思路同 P1792，不过这题是链，还要注意是取最小值所以 \(a_0,a_n\) 得赋为 \(\infty\)。

47. \(\color{#52C41A}\texttt{P2613 有理数取余:}\)【逆元】【高精度】根据费马小定理知：若 \(p\) 为素数，则 \(a^{p-1}\equiv p(\bmod p)\rightarrow a^{p-1}\equiv 1(\bmod p)\)，所以原数就等于 \(a\times b^{p-2}\%p\)。一开始数很大，可以先以字符串输入再取模变小。

48. \(\color{#52C41A}\texttt{P7113 排水系统:}\)【拓扑排序】【高精度】拓扑排序的板子题，高精度可以用 _int128，注意分数的处理。

49. \(\color{#52C41A}\texttt{P1438 无聊的数列:}\)【差分】【线段树】用线段树维护差分数组，操作一就是把 \(a_l+K\)，\(a_{l+1}\) 到 \(a_r\) 加 \(D\)，\(a_{r+1}\) 减去 \((r-l)\times D+K\)，记得判断一下 \(l+1\) 是否 \(\le r\)、\(r+1\) 是否 \(\le n\)。

50. \(\color{#9D3DCF}\texttt{*CF442C Artem and Array:}\)【贪心】【链表】先贪心一遍：如果一个数左边和右边都比它大，则肯定把它给删掉并累加答案，这个操作可以用链表来完成，遍历到 \(i\) 若 \(i-1\) 符合条件就删 \(i-1\)，循环直到不符合条件，这样删完整个序列肯定是一个“倒V”或“斜坡”，易知剩下的数除了最大值和次大值都能加入答案，累加即可。