霍尔定理证明

定理内容：对于一个二分图，如果所有左边都小于等于右边，存在完备匹配，即所有左部点都被匹配。

必要性显然。充分性可以归纳。

设左部点为\(n\)，\(n=1\)显然成立。

第一种情况，左边存在一个子集（不是全集）和右边对应的一样大，根据归纳假设，点集内部存在完美匹配。删掉这些点，如果出现了一个左边大于右边，显然矛盾。

第二种情况，不存在这样的子集，任意匹配一条边即可。

所以就得证了。貌似有很多假证明。。

也可以直接用最大流最小割定理证明。