狄利克雷卷积

经常忘所以记一下。

我们都知道，普通卷积就是多项式乘法，\(i\)和\(j\)贡献到\(i+j\)。

狄利克雷卷积大同小异，\(i\)和\(j\)贡献到\(i*j\)。

要想数学一点可以这么说

盗图真爽 接着来

运算律很好理解，结合律就是\(i,j,k\)贡献到了\(ijk\)。

有一些恒等式可以用卷积简单的写出来。二和三就是定义式。

一就是基本的容斥原理，杨辉三角的同一行中，奇数项的和等于偶数项的和。

四就是欧拉函数的容斥求法。

还有一个式子
\(id=\varphi \ast 1\)

可以改写成
\(n=\sum_{d \mid n}\varphi (\dfrac{n}{d})\)

右侧的含义是满足 \(\gcd(i,n)=d\) 的\(i\)的个数。

参考资料
炫酷反演魔术 ppt
oiwiki
zzd blog
rqy blog