学习笔记 匈牙利算法

匈牙利算法是一种精妙的算法，我一开始都不敢相信他是对的。

先来看定义：

• 匹配 匹配是一个边集，其中任意两条边都没有公共端点。
• 最大匹配 顾名思义，包含边数最多的匹配
• 交错路 匹配边和非匹配边依次出现的一条路
• 增广路 从非匹配边出发，以非匹配边结束的交错路（增广路长度一定是奇数）

感觉好奇怪啊

匈牙利算法的基本思想，就是不断地扩大匹配的集合，不断尝试让匹配边数加一。匹配边数不能变多了，算法也就结束了。

有两条性质，乍一看很显然，其实很难证：

• 一个匹配\(M\)是最大匹配，当且仅当图中不存在增广路。
• 从某一点（左部点）出发，如果某个时刻找不到增广路，那就永远都找不到了。

性质1的必要性是显然的，让我们先来看算法的过程。

我们首先给二分图定向（说人话就是划分出左部和右部，规定增广路从左部出发）。枚举每一个左部点（是非匹配点），如果能找到增广路，我们就把增广路上所有边的状态取反，得到一种大小+1的匹配。
复杂度\(O(nm)\) （点数*边数）

结合代码理解一下

int vis[mxn],mch[mxn];//match
inline bool hungary(int x){
    if(vis[x])return 0;vis[x]=1;
//vis记录左部点右部点皆可
    for(int i=first[x];i;i=nxt[i]) //边是单向边
        if(!mch[to[i]] || hungary(mch[to[i]]))return mch[to[i]]=x,1;
    return 0;
}

//main函数
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)memset(vis,0,sizeof(vis)),ans+=hungary(i);

我们回过头看这两个性质，性质1是算法的基础，性质2确保了每个点只搜一次。

对证明感兴趣的可以看队爷论文，写的可好了，适合初学者看。

可以再看看 hall定理 很多人说有关系，但是咱不知道有啥关系

好像还能用bfs写，据说常数更小。

以上。