[luogu P1012]拼数
UPD
远古时期的文章了，是个挺普通的题abc也出过，很有意思。没有必要向下面这么麻烦，还是保留了。
要证明a>=b等价a*n>=b*m，归纳法根本不需要，每次可以把ab交换变成ba，把一个b换到前面，随便就证出来了。
这里有证明
今明两天期末考试，本蒟蒻自忖考得不行，为转移注意力，特地来洛谷更新一下题解 （这是什么神逻辑） 。话说这是本蒟蒻的第一篇题解，也是花了很长时间憋出来的一篇题解（萌新想写题解真难），但原文讲的并不清楚 估计只有我自己能看懂 ，此次修改务求让大伙一看就明白。本题解看着字多，思路还是比较简单的。
本题解重心在证明。先贴下代码，非常简短：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s[21];int n;
bool cmp(const string &a,const string &b) { // &表示引用
return a+b > b+a;
}
int main() {
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i) cin>>s[i];
sort(s+1,s+n+1,cmp);
for (int i=1;i<=n;++i) cout << s[i];
return 0;
}
证明之前，我们先定义几个符号
-
$ \overline {ab} $ （a,b是数字字符串）
表示 $ a+b $ 也就是把\(a\)和\(b\)连起来写 -
$ \overline {abc} $ （a,b,c都是数字符串）（当然再多几个字符串也没关系，跟上面一个意思）
没错，这个东西本来是表示数字的，现在被我们借过来表示字符串 -
$ a \geqslant b $ 表示正常的\(a\)大于等于\(b\) （下面这个就是不正常的）
-
a>=b a,b是数字字符串 表示 $ a+b \geqslant b+a $
注意区分这两个大于等于！ -
a*n a是数字字符串 n是正整数 表示把\(a\)连续写\(n\)遍形成的很长的字符串
说明了这么几个奇怪的符号之后，我们正式开始证明。一定要把这几个符号区分清楚！
从代码中可以看出，我们把\(a\)数组按这个 >= 符号 降序 排好序，再直接输出就是正确的答案了。容易发现，对于任意一种排列方式，只要相邻的两个数不满足 前面的 >= 后面的（注意这是那个奇怪的大于等于），那么这种排列肯定不是最优的。也就是说，对于最优排列，肯定有 第一个串 >= 第二个串 第二个串 >= 第三个串 第三个串 >= 第四个串 ... 依此类推。
经过这一些简单的推理，证明的思路实际上很清晰了：只需要再证明传递性（由a>=b 且 b>=c 能否推出 a>=c)。这是最后的一步，也是关键的一步。
先证明一个性质： 如果 a>=b，那么 a*n >= b。 （思路：递推/数学归纳法）
由a>=b即 $ \overline {ab} \geqslant \overline {ba} $
可知 $ \overline {aab} \geqslant \overline {aba} $ 并且 $ \overline {aba} \geqslant \overline {baa} $
从而 $ \overline {aab} \geqslant \overline {baa} $ 也就是 a*2>=b
由a*2>=b即 $ \overline {aab} \geqslant \overline {baa} $ 又由 $ \overline {ab} \geqslant \overline {ba} $
可知 $ \overline {aaab} \geqslant \overline {abaa} $ 并且 $ \overline {abaa} \geqslant \overline {baaa} $
从而 $ \overline {aaab} \geqslant \overline {baaa} $ 也就是 a*3>=b
依此类推，便能证得 a*n>=b
类似地，由 a>=b，也可以得到 a>=b*n。
相反，如果 a*n>=b 或者 a>=b*n，也能得到 a>=b。（口胡一个证明，如果不满足a>=b这个结论，肯定不满足题设，如果能满足a>=b这个结论，题设肯定成立。大概是一个反证法？）
有了这个结论，我们只要对\(a,b,c\)各乘上一个合适的整数（没错就是合适），不难证明传递性了。
