字符串合集

Problem A. P7409 SvT

题意：

给定一个长度为 $n$ 的小写英文字符串 $s$ 和 $q$ 次询问。每次给一个大小为 $k_i$ 的整数集合，询问集合内两两不同数代表的后缀的 LCP 的长度和，对大质数取模。

$1\le n\le 5\times {10}^5$，$1\le \sum k_i\le 3\times {10}^6$，时限 $3$ 秒，空间限制 $512$ MB。

解法：

刻画后缀 LCP 的常见做法有很多。

一个做法是，考虑后缀排序，根据 SA 相关结论，两个后缀的 LCP 等价于区间 $min$。询问时先进行相邻的 RMQ，然后单调栈求值即可。

另一方面，仍然考虑 SA，但是将区间 $min$ 刻画为笛卡尔树上 LCA 点权，显然对询问点建虚树即可。

不用 SA，直接考虑后缀树。容易发现后缀 LCP 等于后缀树上 LCA 到根路径长，进一步等于反串 SAM 的 Link 树上 LCA 的等价类最大长度。所以同样对询问点建虚树即可。

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Problem B. CF1090J Two Prefixes

题意：

给定字符串 $s,t$，求 $s$ 非空前缀与 $t$ 非空前缀拼接后得到的本质不同字符串个数。

$1\le |s|,|t|\le {10}^5$，字符集为小写英文字母。

解法：

假设 $n=|s|$，$m=|t|$。

考虑对于每个本质不同字符串，在最小的 $s$ 的前缀位置统计答案。

不难发现对于每个 $i$，有且仅有一段后缀 $[j,m]$ 符合 $s[1\cdots i]+t[1\cdots j]$ 是之前没有出现过的。我们考虑二分这个 $j$，问题变为给定 $i,j$，判断是否存在 $x<i$ 使得 $s[1\cdots x]+t[1\cdots i+j-x]=s[1\cdots i]+t[1\cdots j]$。容易发现本质相当于我们找到 $s[1\cdots i]$ 的某个后缀，其与 $t$ 的某个前缀相等，然后把 $t[1\cdots j]$ 往后平移相同。

将 $t$ 与 $s$ 拼在一起，中间加个特殊符号。那么我们要找的后缀其实就是 Fail 树上的祖先。但是如果我们选了 $s[1\cdots i]$ 的一段长度为 $k$ 的后缀，还需要判断 $t[1\cdots j]=t[k+1\cdots k+j]$ 是否成立。注意到这等价于 $\mathrm{LCP}(t,t[k+1\cdots m])\ge j$ 是否成立。于是先对 $t$ 做一下 exKMP，然后在树上预处理每个点到根的点权最大值即可做到 $O(1)$ 判定。

实际实现中不需要显式建树。

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Problem C. CF1393E2 Twilight and Ancient Scroll (harder version)

题意：

给定 $n$ 个小写英文字符串 $s_1,s_2,\cdots ,s_n$。你需要在每个字符串中删去至多 $1$ 个位置的字符，使得最终 $s_1\le s_2\le \cdots \le s_n$，其中 $\le$ 按照字典序比较。你要求有多少符合条件的方案，答案对 ${10}^9+7$ 取模。删去不同的位置得到同样的字符串算两种方案。

$1\le n\le {10}^5$，$\sum |s_i|\le {10}^6$。时限 $1.5$ 秒，空间限制 $250$ MB。

解法：

DP 状态是简单的，记 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个字符串，第 $i$ 个字符串删除的位置为 $j$ 的方案数。

考虑转移时有 $f_{i,j}=\sum _k{f}_{i-1,k}$，其中 $k$ 要符合题意要求。如果对于每个 $i$，将所有 $j$ 按照删去后拼接前后缀的字符串字典序排序，那么可以双指针求出一段符合条件的 $k$，显然这是 $i-1$ 按照这个方式得到的一段前缀。进一步地，双指针部分的判定使用二分哈希就能判断字符串大小。对于排序，参见 P5329 [SNOI2019] 字符串，其本质是从前往后依次加入每个同字符连续段，手玩一下很容易理解。

排序部分是 $O(\sum |s_i|)$ 的，二分哈希部分是 $O(\sum |s_i|\log \sum |s_i|)$ 的。

进一步，容易知道二分哈希部分可以直接使用 SA 维护。使用线性 SA 维护手段理论可以做到线性。

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Problem D. [ARC060F] Best Representation

题意：

给定一个长度为 $n$ 的小写英文字符串 $s$，定义一个字符串 $t$ 是好的，当且仅当其不存在非自身的整周期。你需要将 $s$ 分为若干非空子串使得每部分都是好的。你需要求出最小的分段数量，以及段数等于最小分段数的分段方案数，答案对 ${10}^9+7$ 取模。

$1\le n\le 5\times {10}^5$，时限 $2$ 秒。

解法：

简单无脑做法是直接 $f_i$ 和 $g_i$ 表示 $[1,i]$ 最小分段数量和方案数，目测不能降低到 $O(n^2)$ 以下，优化前途不是很好。

其实这是一个诈骗题。

下文称非自身整周期为非平凡整周期。

考虑一些简单情况。若 $s$ 所有字符相同，最小分段数量为 $n$，方案数为 $1$。若 $s$ 没有非平凡整周期，最小分段数量为 $1$，方案数也为 $1$。

手玩下其他情况，根据我们敏锐的直觉，我们断言其他情况下最小分段数量为 $2$。此时我们只需要判断每个前缀和后缀是否有非平凡整周期即可。这个直接调和级数哈希是可以的，其次考虑正着和反着 KMP 一次，记 $\pi$ 为 KMP 得到的那个数组。根据下述结论，我们可以得到线性做法。

结论 $1$：

一个串有非平凡整周期等价于最小非平凡周期为整周期。

证明：

右推左显然，考虑左推右。

考虑证明逆否命题：如果一个串最小非平凡周期不是整周期，则其必然不存在非平凡整周期。

假设长度为 $n$ 的字符串 $s$ 有最小非平凡周期 $d\nmid n$，若 $d>\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor$，显然成立。否则考虑若存在非平凡整周期 $y\mid n$，有 $y\le \lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor$，则 $d+y\le n$，根据弱周期引理，存在长度为 $gcd(d,y)$ 的周期。若 $gcd(d,y)<d$，与 $d$ 为最小非平凡周期矛盾。若 $gcd(d,y)=d$，则 $d\mid y$，由于 $d\nmid n$，所以 $y\nmid n$，与假设矛盾，故不存在非平凡整周期。

证毕。

写一下其实就能过了，问题是为什么答案为 $2$？

事实上，除了特殊情况，有除了 $1$ 的非平凡整周期的字符串，将最后一个字符删去，必然没有非平凡整周期。也就是说，直接将第前 $n-1$ 个字符和最后一个字符分段即可。

结论 $2$：

若一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ 存在最小非平凡整周期且最小整周期长度大于 $1$，则删去最后一个字符，其必然不存在非平凡整周期。

证明：

我们考虑反证。考虑整个字符串 $s$ 有最小非平凡整周期 $x>1$，假设 $s[1\cdots n-1]$ 有最小非平凡整周期 $y\ge 1$，显然 $x$ 也为 $s[1\cdots n-1]$ 的一个周期。此外有 $x\le \lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor$ 和 $y\le \lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\rfloor$，则有 $x+y\le n-1$。根据弱周期引理，我们得到 $s[1\cdots n-1]$ 有一个长度为 $gcd(x,y)$ 的周期。由于 $y$ 是最小非平凡整周期，$gcd(x,y)=y$，故 $y\mid x$。由于 $x\mid n$，所以 $y\mid n$。但是 $y$ 又是 $s[1\cdots n-1]$ 的整周期，所以 $y\mid n-1$，所以 $y=1$，与最小整周期长度大于 $1$ 矛盾。

证毕。

综上，这种情况下最小分段数量为 $2$，代码很好写，这里就不放了。