贪心、构造、DP、交互 合集（Part 2）

Problem A. CF704B Ant Man

题意：

有 $n$ 个元素，第 $i$ 个元素有五个参数 $x_i,a_i,b_i,c_i,d_i$。

你需要求出一个 $1\sim n$ 的排列 $p$，满足 $p_1=s,p_n=e$，同时最小化这个排列的权值。

一个排列的权值为 $\sum _{i=1}^{n-1}f(p_i,p_{i+1})$，其中 $f(i,j)$ 定义为：

• 若 $i>j$，则 $f(i,j)=x_i-x_j+c_i+b_j$。
• 若 $i<j$，则 $f(i,j)=x_j-x_i+d_i+a_j$。

$2\le n\le 5\times {10}^3$，$s\ne e$，$1\le x_1<x_2<\cdots <x_n\le {10}^9$，$1\le a_i,b_i,c_i,d_i\le {10}^9$。

解法：

这一类问题都可以描述如下：

你要求一个排列 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$，最小 / 最大化 $\sum _{i=1}^{n-1}f(p_i,p_{i+1})$，其中 $f(i,j)=\{\begin{array}{lll}f(i)+g(j)& & i<j\\ h(i)+r(j)& & i>j\end{array}$。

考虑到 $f$ 的值与参数关系有关，考虑钦定顺序进行连续段 DP，记 $f_{i,j}$ 表示已经填入 $[1,i]$，目前形成了 $j$ 个连续段的答案。转移都是容易的，不过细节是插入 $s$ 和 $e$ 时有些转移是不合法的需要注意。

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Problem B. CF1835C Twin Clusters

题意：

给定 $k$ 与一个长度为 $2^{k+1}$ 的整数序列，每个数 $a_i\in [0,4^k)$。求序列的两个非空不交子区间，异或和相等或确定无解。

$0\le k\le 17$。

解法：

性质很多，逐步挖掘。

首先，不交的限制绝大多数情况都没意义。如果找到两个相交子区间异或相等，当且仅当一个区间包含另一个且长度差为 $1$ 时无法构造不交的区间。

其次，我们断言必然有解。考虑反证。根据上述结论，容易知道每种区间异或和出现次数不超过 $2$ 次，否则有解。其次，考虑区间个数为 ${\displaystyle \frac{2^{k+1}(2^{k+1}+1)}{2}}>{\displaystyle \frac{2^{2k+2}}{2}}=2^{2k+1}=2\times 4^k$，每种异或结果不超过 $2$ 个，故至少有 $4^k+1$ 个不同区间异或，与题意矛盾。

最后，根据生日悖论，每次随机一个区间并计算异或和，加入 map 维护即可。复杂度 $O(2^{k+1}\mathrm{poly}(k))$。

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Problem C. CF865E Hex Dyslexia

题意：

给定一个十六进制数 $x$，可能含有前导 $0$。找到最小的长度和输入的数相等的十六进制数 $b$ 使得存在另一个个长度和这个数相等的十六进制数 $a$ 满足 $a-b=x$ 且 $a,b$ 的各位数字可以通过重排相同。$a,b$ 可以有前导 $0$。若无解请报告，否则输出最小的 $b$。

记 $n$ 为 $x$ 长度，保证 $n\le 14$，时限 $3$ 秒。

解法：

首先考虑有解的必要条件。

由于 $a,b$ 重排相等，所以必然模 $15$ 同余。原因比较显然。

考虑 $a-b=x$，所以 $x\equiv 0(\mathrm{mod}15)$。这是有解的必要条件。

考虑 $a$ 与 $b$ 各位数字相等，但是却有 $b=a-x$，若记 $s$ 为 $x$ 各位数字和，则 ${\displaystyle \frac{s}{15}}$ 为 $a-b$ 退位次数，原因是每次退位会使得数位和减去 $15$。

考虑枚举哪些位退位，复杂度至多 $O\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})\right)$。

枚举进位后，每个位置的 $a_i-b_i$ 可以直接求出。不妨将 $b$ 看作 $a$ 的置换，画出置换环，每条边的边权是 $a_i-a_{p_i}$。我们需要在每个点上写上 $[0,15]$ 的点权，使得每条边左右两数差为边权，同时最小化 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的字典序。

事实上，我们可以发现每个置换环的最小点权必然都为 $0$，否则将环上所有点权减去最小值即可。然后我们还可以发现，两个有相同数的环可以通过更改指出的边进行合并。于是我们得到结论，存在最优解使得存在唯一的置换环，大小为 $n$。

接下来是容易的，进行 DP，记 $f_S$ 表示目前已经加入了 $S$ 这些点的最小答案，转移是简单的，总复杂度 $O\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})n{2}^n\right)$，可以通过。

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