近年各省省选

六省联考 $2017$

D1T1 期末考试

题意：

有 $n$ 位同学，每位同学都参加了全部的 $m$ 门课程的期末考试，都在焦急的等待成绩的公布。

第 $i$ 位同学希望在第 $t_i$ 天或之前得知所有课程的成绩。如果在第 $t_i$ 天，有至少一门课程的成绩没有公布，他就会等待最后公布成绩的课程公布成绩，每等待一天就会产生 $C$ 不愉快度。

对于第 $i$ 门课程，按照原本的计划，会在第 $b_i$ 天公布成绩。

有如下两种操作可以调整公布成绩的时间:

1. 将负责课程 $X$ 的部分老师调整到课程 $Y$，调整之后公布课程 $X$ 成绩的时间推迟一天，公布课程 $Y$ 成绩的时间提前一天；每次操作产生 $A$ 不愉快度。
2. 增加一部分老师负责学科 $Z$，这将导致学科 $Z$ 的出成绩时间提前一天；每次操作产生 $B$ 不愉快度。

上面两种操作中的参数 $X,Y,Z$ 均可任意指定，每种操作均可以执行多次，每次执行时都可以重新指定参数。

现在希望你通过合理的操作，使得最后总的不愉快度之和最小，输出最小的不愉快度之和即可。

$1\le n,m,t_i,b_i\le {10}^5$，$0\le A,B,C\le {10}^{16}$。

解法：

若固定了每科成绩公布的时间，显然同学等待导致的不愉快度只和公布时间的最大值有关。由于 $t_i,b_i\le {10}^5$，枚举最大的公布时间，二分后贪心地选就可以做到 $O(n\log n)$，值域很大，可能需要 __int128。

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D1T2 相逢是问候

信息将你我连结。

题意：

你要维护一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，同时给定两个正整数 $c,p$。

一共有 $m$ 个操作，可以分为两种：

• 0 l r 表示将第 $l$ 个到第 $r$ 个数（ $a_l,a_{l+1}...a_r$）中的每一个数 $a_i$ 替换为 $c^{a_i}$，即 $c$ 的 $a_i$ 次方，其中 $c$ 是输入的一个常数，也就是执行赋值 $a_i=c^{a_i}$。

• 1 l r 求第 $l$ 个到第 $r$ 个数的和，也就是输出 $\sum _{i=l}^r{a}_i$。

因为这个结果可能会很大，所以你只需要输出结果对 $p$ 取模的结果即可。

$1\le n,m\le 5\times {10}^4$，$1\le p\le {10}^8$，$0<c<p$，$0\le a_i<p$，时限 $2$ 秒。

解法：

考虑一个经典套路。

对于幂塔而言，根据拓展欧拉公式可以递归求解，但事实上可以发现每一步操作模数 $p$ 都会递归变为 $\phi (p)$，根据经典结论我们知道，不断执行 $p\leftarrow \phi (p)$，最终 $p$ 会在 $O(\log p)$ 轮内变为 $1$。证明考虑若 $p$ 为偶数，则 $\phi (p)\le {\displaystyle \frac{p}{2}}$，若 $p$ 为奇数，则除 $p=1$ 外，$\phi (p)$ 为偶数。

这样我们可以发现，对于每个位置，如果幂塔层数超过 $p$ 变到 $1$ 所需次数，那么对其继续增加层数并不会影响其值，因为递归到最后，其值甚至都不受 $a_i$ 的影响。这样我们维护一棵线段树，每个点维护区间内操作次数最小值和区间和。修改暴力递归到所有有意义的叶子节点，然后直接递归求解不超过 $O(\log p)$ 层的幂塔。这样总复杂度为 $O(n{\log }^{3}p)$，其实并不能确保通过。事实上有两种解决方案。一种是注意到数据很弱，将幂塔层数上限调低就可以通过本题，另一种是注意到能优化的复杂度的在快速幂上，我们只需要快速计算 $c^x$ 对若干常数取模的结果。模数数量为 $O(\log p)$ 量级，对于每个模数光速幂即可。复杂度为 $O(n{\log }^{2}p+\sqrt{p}\log p)$。

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D1T3 组合数问题

题意：

给定整数 $n,p,k,r$，你需要求出 $\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{nk}{ik+r})}$ 对 $p$ 取模的结果。换句话来说，在 $nk$ 个互相区分物品中无序选出模 $k$ 余 $r$ 个的方案数。不保证 $p$ 为质数。

$1\le n\le {10}^9$，$0\le r<k\le 50$，$2\le p<2^{30}$。

解法：

直接考虑组合意义或者代数推导都不容易。考虑一个 DP，记 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 个互相区分物品中选出模 $k$ 余 $j$ 个的方案数。发现有 $f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,(j-1)modk}$。然后直接矩阵快速幂就可以做到 $O(k^3\log n)$。这是 T3？

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D2T1 摧毁“树状图”

题意：

给定一一棵 $n$ 个点的树，选择两条在边上不交的非空简单路径，求删掉所有路径上的点和相邻的边后树的连通块个数最大值。

$n\le 5\times {10}^5$。

解法：

将路径选法分为两类，分别是两条路径是否有交点。对于有交点的，我们直接换根 DP 枚举交点，对于每个交点维护一端为这个点的前 $4$ 大路径权值和就行。

对于没有交点的选法，必然存在一条边，使得路径在两侧。这个也可以换根 DP 解决。

代码还没实现，感觉不是很好写。

D2T2 分手是祝愿

时空将你我分开。

题意：

给定一个长度为 $n$ 的 $01$ 序列和整数 $k$。每次操作选择一个值 $1\le i\le n$，将 $i$ 的所有因数的 $01$ 状态反转，终止状态为所有数都为 $0$。问使用如下策略操作，期望操作次数乘以 $n!$ 对 $100003$ 取模的结果是多少。策略为，每一次操作前，如果目前局面的最优操作步数不超过 $k$，则使用最优操作策略，否则在 $[1,n]$ 中等概率均匀随机选择操作的 $i$。

$1\le n\le {10}^5$，$0\le k\le n$。

解法：

考虑对于 $01$ 序列如何计算最优操作步数。显然是从后往前依次操作每个目前还是 $1$ 的，并将其因数都反转，复杂度 $O(n\log n)$。

如果最优步数小于等于 $k$，显然直接输出最优步数。

否则，我们考虑令 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 表示最优策略下每个位置是否要被操作。容易发现每次操作都是反转 $b$ 的某一位，且期望步数只与 $b$ 中 $1$ 的数量有关，与具体形态无关。于是可以进行一个 DP。记 $f_i$ 表示目前最小操作次数为 $i$，期望多少步使得最小步数为 $i-1$。有边界 $f_n=1$。转移很容易，有 $f_i={\displaystyle \frac{i}{n}}+{\displaystyle \frac{n-i}{n}}(f_i+f_{i+1}+1)$。将 $f_i$ 提取出来后就可以直接求出了，总复杂度 $O(n\log n)$。

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D2T3 寿司餐厅

题意：

有 $n$ 件菜，每件有其种类 $a_i$ 和美味度 $d_{i,i}$，每件菜数量无限。你可以进行任意轮取菜，每次可以选择 $[1,n]$ 中一个子区间的所有菜。另外，多件菜一起吃可能会有额外效果。具体来说，对于所有 $i<j$，同时选择 $[i,j]$ 中所有菜会额外获得 $d_{i,j}$ 的美味度，注意 $d$ 可正可负。你有记忆功能，对于任意 $i\le j$，即使 $d_{i,j}$ 被多次触发，也只计算一次贡献。但是菜并不是免费的，菜店有一个常数 $m$。对于种类 $x$ 的菜，假设你总共吃过 $c>0$ 件这样种类的菜，你需要支付 $m{x}^2+cx$ 元。你需要最大化你获得的美味度减去你要支付的钱数。你不用输出构造。

$1\le n\le 100$，$m\in \{0,1\}$，$-500\le d_{i,j}\le 500$，$1\le a_i\le 1000$。

解法：

每个 $d$ 多次触发只算一次，触发有依赖关系，有负权，最大化答案，不然让我们想到最大权闭合子图模型。

对于所有 $[i,j]$ 建立点，点权 $d_{i,j}$，对于每个 $[i,j]$ 应该向其所有子区间连有向边，但不难发现只需要连 $[i,j-1]$ 和 $[i+1,j]$ 就行。对于所有 $[i,i]$，向种类点 $a_i$ 连一条有向边。问题显然等价于图上最大权闭合子图。建立源点汇点，源点向所有非负权点连容量为权值的边，负权点向汇点连容量为权值绝对值的边，保留原图所有边，容量为 $+\mathrm{\infty }$，转成最小割，答案等于正权点权值和减去最小割。

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九省联考 $2018$

D1T1 一双木棋

题意：

有一个 $n\times m$ 网格，Alice 和 Bob 在玩游戏。给定两个 $n\times m$ 数字棋盘 $a_{i,j}$ 与 $b_{i,j}$。Alice 先手，玩家每次选择网格上某个点落子，满足这个点在第一行或上方的格子已经落过子，并且这个点在第一列或左方的格子已经落过子。当 Alice 在 $(i,j)$ 落子时，获得得分 $a_{i,j}$，而 Bob 则获得得分 $b_{i,j}$。玩家的总得分为每次得分和。双方都希望最大化己方总得分减对方总得分，如果双方都使用最优策略，求最终 Alice 总得分减 Bob 总得分。

$1\le n,m\le 10$，$0\le a_{i,j},b_{i,j}\le {10}^5$。时限 $1$ 秒。

解法：

范围很小。

容易发现任何局面，目前已落过子的格子形成一个左上的楼梯状。具体来说令 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 为每行的前缀落子个数，则必有 $c_1\ge c_2\ge c_3\ge \cdots \ge c_n$。直接状压一手，将 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 放进状态，转移是简单的。使用 unordered_map 即可通过。对于状态分析，考虑统计方案数其实是一个组合计数问题，具体来说插板就行，算出来状态数大概是 ${10}^6$ 级别，可以通过。

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D1T2 IIIDX

题意：

给定 $n$ 个数的整数序列 $d_1,d_2,\cdots ,d_n$ 和实数 $k>1$。你需要求 $d$ 的字典序最大的排列，满足对于所有 $1\le i\le n$，要么 $\lfloor {\displaystyle \frac{i}{k}}\rfloor <1$，要么 $d_i\ge d_{\lfloor \frac{i}{k}\rfloor }$。

$1\le n\le 5\times {10}^5$，$1<k\le {10}^9$，$1\le d_i\le {10}^9$。时限 $2$ 秒。

解法：

典中典套路题。

要求字典序最大，首先考虑到的是从前往后贪心。我们从前往后考虑每个 $i$，我们希望对于这个 $i$ 求出最大的 $d_i$，使得这段前缀固定时，存在填后缀的方案使得序列符合要求。不难注意到每个 $i$ 的最大 $d_i$ 可以二分，现在问题转化为如果已经钦定了一段前缀的值，是否存在后缀使得序列符合要求。考虑所有 $i<j\le n$，如果 $\lfloor {\displaystyle \frac{j}{k}}\rfloor \le i$，则 $d_j$ 有最小值，否则 $d_{\lfloor \frac{j}{k}\rfloor }$ 还没有确定，但是不断往前推，每次除以 $k$ 下取整，必然会到达某个 $\le i$ 的位置，那么对于所有 $i<j\le n$，$d_j$ 都有最小值，不妨记为 $c_j$。

现在判定问题变成了，是否存在一个 $d_1,d_2,\cdots ,d_m$ 的排列，使得对于所有 $i$，都有 $d_i\ge c_i$。这个不是那个经典的 Hall 定理吗？考虑二分图匹配，每个左侧点能匹配到右侧点一段后缀，根据 Hall 定理，又由于左侧点连的是右侧后缀，令 $a_i$ 表示 $d_j\ge i$ 的 $j$ 的个数，$b_i$ 表示 $c_j\ge i$ 的 $j$ 的个数，有解的充要条件为 $\mathrm{\forall }i,a_i\ge b_i$。我们只需要维护 $a_i-b_i$ 最小值即可。发现二分后可以直接使用线段树维护之，支持区间加减区间最小值，复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$，实现精细可以在 LOJ 以最坏 $1.2$ 秒，洛谷 $1.8$ 秒内的时间通过。洛谷评测机还是太菜了！

二分应该可以放到线段树上，这样可以做到单 $\log$。

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D1T3 秘密袭击

题意：

给定一棵 $n$ 个点的树和常数 $k$，点有点权 $a_i$。求所有树上连通块中第 $k$ 大点权之和，对 $64123$ 取模。若连通块大小不足 $k$ 则第 $k$ 大点权为 $0$。

$1\le k\le n\le 1666$，$1\le a_i\le 1666$，时限 $7$ 秒。

解法：

我不会正解，但是数据太菜了。

首先三次方做法应该是容易的。第 $k$ 大不容易刻画，但是如果点权只有 $0$ 或 $1$ 怎么做？直接树上背包就做完了。然后考虑枚举值域每个数 $x$，令 $d_i=[a_i>x]$，此时点权为 $0$ 与 $1$，做背包，将结果求和即可。这样总复杂度为 $O(n^3)$，理论上无法通过，但是交上去会发现只超时了一个点，且这个点正好是链。对链特殊做一下就可以通过了。

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D2T1 劈配

题意：

建议自行阅读。

解法：

考虑先求第一问，类似连续攻击游戏，直接从前往后做匈牙利就行，复杂度为 $O(n^{2}C)$，$C$ 很小，可以接受。但是第二问如果直接二分，复杂度是 $O(n^{3}C\log n)$，不一定能过。但是只要把所有前缀的结果记录下来，判定时就可以一次找增广路，总复杂度 $O(n^{2}C\log n)$，可以通过。

D2T2 林克卡特树

题意：

给定一棵 $n$ 个点的树和整数 $k$，边有整数边权，可能为负。你需要选择树上恰好 $k$ 条边，将选定边删去，然后再加入 $k$ 条权值为 $0$ 的边，需要保证加边后仍是一棵树，你需要最大化最终这棵树的最长简单路径边权和。

$0\le k<n\le 3\times {10}^5$，$\left|v_i\right|\le {10}^6$。

解法：

相当于你要在树上选 $k$ 条点不相交路径，最大化路径边权和之和。

恰好不好做，我们手玩一下发现结果应该关于 $k$ 是一个上凸函数啊。证明我也不会。

然后考虑 wqs 二分。现在问题转化为，在树上选若干点不相交路径，每选一条需要花费 $w$ 代价，你要最大化路径边权和减去代价。

考虑 DP，记 $f_{i,0/1/2}$ 表示在 $i$ 子树内选路径，$i$ 目前不被选择，或在某条路径端点，或是路径中某个度数为 $2$ 的点时的答案，DP 时同时记录一下选的路径数量即可做到线性，总复杂度 $O(n\log V)$。

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D2T3 制胡窜

不会。

省选联考 $2020$ A 卷

D1T1 冰火战士

题意：请自行查看。

解法：

容易发现总能量和其实是两倍的 $min$ 状物，这个东西直接维护线段树上二分就能找到 $min$ 的分界点，两侧做区间询问就行。

D1T2 组合数问题

题意：

你要求 $(\sum _{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})})modp$ 的值。其中 $n$, $x$, $p$ 为给定的整数，$f(k)$ 为给定的一个 $m$ 次多项式 $f(k)=a_0+a_{1}k+a_2{k}^2+\cdots +a_m{k}^m$。$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 为组合数，其值为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$。

$1\le n,x,p\le {10}^9$，$0\le a_i\le {10}^9$，$0\le m\le min\{n,1000\}$，不保证 $p$ 是质数。

解法：

我们考虑将多项式拆开，对于每个 $a_i$ 求贡献系数。则答案等于 $\sum _{i=0}^m{a}_i\sum _{k=0}^n{k}^i{x}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$。这里把 $x^k$ 展开成下降幂形式，即 $\sum _{j=0}^k{x}^{\underset{―}{j}}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}j!$，然后把 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}$ 拆成 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{k-j})}$，先枚举 $j$ 后枚举 $k$，关于 $n$ 的式子变成了一个二项式定理，直接计算即可。复杂度 $O(m^2)$。

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D1T3 魔法商店

我还不会保序回归。