CF1005D Polycarp and Div 3

本题标签是贪心、字符串和前缀和，但是最重要的是动态规划。

我们考虑设 $f_i$ 表示前 $i$ 个字符最多段数，很显然我们枚举 $j$ 从 $1$ 到 $i$，对于每个 $[j,i]$ 求一次数字和，如果为 $3$ 就对贡献加 $1$。

但是很明显这个复杂度是 $O(n^2)$，妥妥 TLE。这时，数学就登场了。

我们知道任一自然数除以 $3$ 余数可能为 $0, 1, 2$。从反面考虑，我们尽量让若干个数相加仍然不是 $3$ 的倍数。明显，我们尽量让余数为 $0$ 的不出现。那么 $1+2 \equiv 0\pmod 3$，$1+1+1 \equiv 2+2+2 \equiv 0\pmod 3$，可得，任取 $3$ 个自然数，其中必有连续的若干个数的和是 $3$ 的倍数。

因此，可以将 $j$ 的枚举范围变为 $[i-2, i]$，代码实现：

#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 2e5 + 5;

int dp[N], pre[N], ans = 0;
string s;

signed main()
{
	cin >> s;
	int len = s.size(), ans = 0;
	for (int i = 1; i <= len; i++) pre[i] = pre[i - 1] + (s[i - 1] - '0');
	for (int i = 1; i <= len; i++)
	{
		for (int j = i; j >= i - 2; j--)
		{
			if (j < 1) break;
			int x = pre[i] - pre[j - 1];
			dp[i] = max(dp[i], dp[j - 1] + (x % 3 == 0 ? 1 : 0));
		}
		ans = max(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}